Aufgabe 1:

Zwei natürliche Zahlen, von denen eine durch Ziffernpermutation aus der anderen entsteht, haben die Summe 999...9 (lauter Neunen). Ist dies möglich, wenn jede der Zahlen
a) 1999 Stellen hat,
b) 2000 Stellen hat?

Erläuterung: Die Aussagen über Ziffern und Stellenzahl beziehen sich auf die Dezimaldarstellung der vorkommenden Zahlen.

Aufgabe 2:

Man betrachte fünf positive ganze Zahlen, bei denen die Summe von je drei dieser Zahlen durch die Summe der restlichen beiden Zahlen teilbar ist; dies ist z.B. der Fall bei den Zahlen 1, 1, 1, 1, 2.
Man entscheide, ob es fünf paarweise verschiedene Zahlen mit dieser Eigenschaft gibt.

Aufgabe 3:

Dem Halbkreis über eine Strecke AB sei ein konvexes Viereck ABCD einbeschrieben. Der Schnittpunkt von AC und BD sei S, der Fußpunkt des Lotes von S auf AB sei T. Man beweise, dass ST den Winkel CTD halbiert.

Aufgabe 4:

Ein kreisförmiges Spielbrett sei in n Sektoren (n ≥ 3) eingeteilt, von denen jeder entweder leer oder mit einem Spielstein besetzt ist. Die Verteilung der Spielsteine wird schrittweise verändert: Ein Schritt besteht daraus, dass man einen besetzten Sektor auswählt, seinen Spielstein entfernt und die beiden Nachbarsektoren "umpolt", d.h. einen besetzten Sektor leert und einen leeren Sektor mit einem Spielstein besetzt.
Für welche Werte von n kann man in endlich vielen Schritten lauter leere Sektoren erzielen, wenn anfangs ein einziger Sektor besetzt ist?

Ergänzende Hinweise:

Zwar wird die Formulierung "man beweise" nur in der dritten Aufgabe verwendet, aber grundsätzlich gehört zu allen Lösungen, dass die dort angegebenen mathematischen Aussagen bewiesen werden.

Zu Aufgabe 1: Eine Ziffernpermutation ist eine beliebige Vertauschung von Ziffern; z.B. entsteht 12325 aus 32215 durch eine Ziffernpermutation.

Zu Aufgabe 2: Mathematische Objekte heißen paarweise verschieden, wenn unter ihnen keine zwei gleichen vorkommen.

Zu Aufgabe 3: Eine Figur heißt konvex, wenn zusammen mit zwei beliebigen Punkten P und Q der Figur stets auch alle Verbindungsstrecke PQ zu der Figur gehören.

Aufgabe 1:

Gegeben ist ein Satz von n Gewichtstücken (n > 3) mit den Massen 1, 2, 3, ..., n Gramm. Man bestimme alle Werte von n, für die eine Zerlegung in drei Haufen gleicher Masse möglich ist.

Aufgabe 2:

Man beweise: Für jede ganze Zahl n (n ≥ 2) gibt es n verschiedene natürliche Zahlen mit der Eigenschaft, dass für irgend zwei dieser Zahlen a und b die Summe a + b durch die Differenz a - b teilbar ist.

Aufgabe 3:

Durch jede Ecke eines (nicht notwendigerweise regulären) Tetraeders und die Mittelpunkte der drei von dieser Ecke ausgehenden Kanten wird eine Kugel gelegt. Man beweise, dass es einen Punkt gibt, der auf allen vier Kugeln liegt.

Aufgabe 4:

Man betrachte Summen der Form ∑_k=1..n(e_k k³) mit e_k ∈ {-1;1}.
Gibt es solche Summen mit dem Wert 0, wenn
a) n=2000
b) n=2001
ist?

Aufgabe 1:

Auf einem Tisch liegt ein Haufen mit 2001 Spielsteinen, der schrittweise in Haufen mit je drei Steinen umgewandelt werden soll. Dabei besteht ein Schritt darin, dass ein Haufen ausgewählt, daraus ein Stein entfernt und der Resthaufen in zwei Haufen zerlegt wird.
Kann dies mit einer Folge von vollständig ausgeführten Schritten erreicht werden?

Ergänzende Bemerkungen: Die Richtigkeit der Antwort muss bewiesen werden. Ein Haufen besteht immer aus mindestens einem Stein.

Aufgabe 2:

Von einer Folgt (a₀, a₁, a₂, ...) reeller Zahlen sei bekannt:
a₀=1 und a_n+1 = a_n + √(a_n+1 + a_n) für alle natürlichen Zahlen n.
Man beweise, dass nur eine einzige Folge mit diesen Eigenschaften existiert, und gebe eine explizite Formel für a_n an.

Aufgabe 3:

Gegeben sei ein spitzwinkliges Dreieck ABC mit Umkreismittelpunkt O. Die Gerade (BO) schneide den Umkreis nochmals in D, und die Verlängerung der von A ausgehenden Höhe schneide den Kreis in E. Man beweise, dass das Viereck BECD und das Dreieck ABC den gleichen Flächeninhalt haben.

Aufgabe 4:

Man beweise: Bei jeder positiven ganzen Zahl ist die Anzahl der Teiler, deren Dezimaldarstellung auf 1 oder 9 endet, nicht kleiner als die Anzahl der Teiler, deren Dezimaldarstellung auf 3 oder 7 endet.

Aufgabe 1:

Zehn Ecken eines regelmäßigen 100-Ecks seien rot und zehn andere blau gefärbt. Man beweise: Unter den Verbindungsstrecken zweier roter Punkte gibt es mindestens eine, die genauso lang ist wie eine der Verbindungsstrecken zweier blauer Punkte.

Aufgabe 2:

Man gebe für jede natürliche Zahl n zwei ganze Zahlen p_n und q_n mit folgender Eigenschaft an: Für genau n verschiedene ganze Zahlen x ist x² + p_nx + q_n das Quadrat einer natürlichen Zahl.
Bemerkung: Die Menge der natürlichen Zahlen ist {0, 1, 2, ...}.

Aufgabe 3:

Gegeben sei ein Dreieck ABC. Die Punkte A', B' und C' liegen auf den Seiten BC bzw. CA bzw. AB so, dass A'B'=B'C'=C'A' und AB'=BC'=CA' gilt. Man beweise, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist.

Aufgabe 4:

In einem Quadrat Q der Seitenlänge 500 liegt ein Quadrat R der Seitenlänge 250. Man beweise: Auf dem Rand von Q lassen sich stets zwei Punkte A und B so wählen, dass die Strecke AB mit R keinen Punkt gemeinsam hat und ihre Länge größer als 521 ist.

Aufgabe 1:

Auf dem Planeten Ypsilon besteht das Jahr - wie bei uns - aus 365 Tagen. Auch dort gibt es nur Monate mit 28, 30 oder 31 Tagen.
Man beweise, dass auf Ypsilon das Jahr ebenfalls 12 Monate haben muss.

Aufgabe 2:

Die Loszettel einer gewissen Lotterie enthalten sämtliche neunstelligen Zahlen, die mit den Ziffern 1, 2, 3 gebildet werden können; dabei steht auf jedem Loszettel genau eine Zahl. Es gibt nur rote, gelbe und blaue Loszettel.
Zwei Losnummern, die sich an allen neun Stellen unterscheiden, stehen stets auf Zetteln verschiedener Farbe. Jemand zieht ein rotes Los und ein gelbes Los; das rote Los hat die Nummer 122 222 222, das gelbe Los hat die Nummer 222 222 222. Der Hauptgewinn fällt auf das Los mit der Nummer 123 123 123. Welche Farbe hat es? Die Richtigkeit der Antwort ist zu beweisen.

Aufgabe 3:

Die Seiten eines konvexen Vierecks zerlegen einen Kreis in acht Teilbögen, von denen vier innerhalb und vier außerhalb des Vierecks liegen. Die Längen der inneren Bögen seien gegen den Uhrzeigersinn mit a, b, c, d bezeichnet; es gelte a + c = b + d. Man beweise, dass das Viereck ein Sehnenviereck ist.

Aufgabe 4:

Aus zwölf Strecken der Längen 1, 2, 3, 4, ..., 12 wird irgendwie ein Zwölfeck zusammengesetzt.
Man beweise, dass es dann stets in diesem Zwölfeck drei aufeinander folgende Seiten gibt, deren Gesamtlänge größer als 20 ist.

Aufgabe 1:

Ein Kartenstapel, dessen Karten von 1 bis n durchnummeriert sind, wird gemischt. Nun wieder wiederholt folgende Operation durchgeführt: Wenn an der obersten Stelle die Karte mit der Nummer k liegt, dann wird innerhalb der obersten k Karten die Reihenfolge umgekehrt.
Man beweise, dass nach endlich vielen solcher Operationen die Karte mit der Nummer 1 oben liegt.

Aufgabe 2:

Gesucht werden streng monoton wachsende Folgen (a₀, a₁, a₂, ...) nicht-negativer ganzer Zahlen mit der Eigenschaft, dass jede nicht-negative ganze Zahl eindeutig in der Form a_i + 2a_j + 4 a_k dargestellt werden kann; dabei sind i, j und k nicht notwendigerweise verschieden.
Man beweise, dass es genau eine solche Folge gibt und bestimme a₂₀₀₂.

Aufgabe 3:

Gegeben ist ein konvexes Polyeder mit einer geraden Anzahl von Kanten.
Man beweise, dass jede Kante so mit einem Pfeil versehen werden kann, dass für jede Ecke die Anzahl der in ihr mündenden Pfeile gerade ist.

Aufgabe 4:

In einem spitzwinkligen Dreieck ABC seien H_a und H_b die Fußpunkte der von A bzw. B ausgehenden Höhen; W_a und W_b seien die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden durch A bzw. durch B mit den gegenüberliegenden Seiten.
Man beweise: Im Dreieck ABC liegt der Inkreismittelpunkt I genau dann auf der Strecke H_aH_b, wenn der Umkreismittelpunkt U auf der Strecke W_aW_b liegt.

Aufgabe 1:

Gegeben seien sechs aufeinander folgende positive ganze Zahlen. Man beweise, dass es eine Primzahl gibt, die Teiler von genau einer dieser Zahlen ist.

Aufgabe 2:

Man ermittle alle Tripel (x, y, z) ganzer Zahlen, die jede der folgenden Gleichungen erfüllen:
(1) x³ - 4 x² - 16 x + 60 = y
(2) y³ - 4 y² - 16 y + 60 = z
(3) z³ - 4 z² - 16 z + 60 = x .

Hinweis: Es reicht nicht, lediglich Lösungen anzugeben, es muss auch bewiesen werden, dass es keine weiteren Lösungen gibt.

Aufgabe 3:

In einem Parallelogramm ABCD werden auf den Seiten AB und BC die Punkte M und N so gewählt, dass sie mit keinem Eckpunkt zusammenfallen und die Strecken AM und NC gleich lang sind. Der Schnittpunkt der Strecken AN und CM wird mit Q bezeichnet.
Man beweise, dass DQ den Winkel ADC halbiert.

Aufgabe 4:

Man gebe alle positiven ganzen Zahlen an, die sich nicht in der Form a / b + (a+1) / (b+1) darstellen lassen, wobei a und b positive ganze Zahlen sind.
Die Richtigkeit des Ergebnisses ist zu beweisen.

Aufgabe 1:

Der Graph einer auf ganz |R definierten reellwertigen Funktion f habe mindestens zwei Symmetriezentren.
Man beweise, dass sich f als Summe einer linearen und einer periodischen Funktion darstellen lässt.

Begriffserläuterungen: Ein Punkt P heißt Symmetriezentrum einer Figur F, wenn jeder Punkt von F bei Spiegelung an P wieder in einen Punkt von F übergeht. Eine Funktion g heißt linear, wenn es reelle Zahlen a,b gibt, so dass die Gleichung g(x)=ax+b für alle x gilt. Eine Funktion p heißt periodisch, wenn es eine positive reelle Zahl k gibt, so dass p(x)=p(x+k) für alle x gilt.

Aufgabe 2:

Die Zahlenfolge (a₁, a₂, a₃, ...) sei rekursiv definiert durch:
a₁:=1, a₂:=1, a₃:=2 und a_n+3:=(1 / a_n) (a_n+1a_n+2 + 7) für n>0.
Man beweise, dass alle Folgenglieder ganzzahlig sind.

Aufgabe 3:

Gegeben sei ein konvexes Sehnenviereck ABCD mit Diagonalenschnittpunkt S; die Fußpunkte der Lote von S auf AB und auf CD seien E bzw. F.
Man beweise: Die Mittelsenkrechte der Strecke EF halbiert die Seiten BC und DA.

Aufgabe 4:

Es seien p und q zwei verschiedene teilerfremde positive ganze Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen soll so in drei Teilmengen A, B, C zerlegt werden, dass für jede ganze Zahl z in jeder der Mengen A, B, C genau eine der drei Zahlen z, z+p, z+q liegt.
Man beweise, dass eine solche Zerlegung genau dann möglich ist, wenn p+q durch 3 teilbar ist.

Aufgabe 1:

Zu Beginn eines Spiels stehen an der Tafel die Zahlen 1, 2, ..., 2004. Ein Spielzug besteht daraus, dass man
- eine beliebige Anzahl der Zahlen an der Tafel auswählt,
- den Elferrest der Summe dieser Zahlen berechnet und an die Tafel schreibt,
- die ausgewählten Zahlen löscht.
Bei einem solchen Spiel standen irgendwann noch zwei Zahlen an der Tafel. Eine davon war 1000; man bestimme die andere Zahl.

Hinweis: Zur vollständigen Lösung gehört nicht nur die Angabe der Zahl, sondern auch der Nachweis, dass diese zweite an der Tafel stehende Zahl keine andere als die angegebene sein kann.

Aufgabe 2:

Die Seitenlängen eines Dreiecks seien ganzzahlig, ferner sei eine der Höhen des Dreiecks gleich der Summe seiner beiden anderen Höhen.
Man beweise, dass dann a² + b² + c² eine Quadratzahl ist.

Aufgabe 3:

Man beweise, dass zwei kongruente regelmäßige Sechsecke so in insgesamt sechs Teile zerschnitten werden können, dass die Teile sich lückenlos und überschneidungsfrei zu einem gleichseitigen Dreieck zusammensetzen lassen.

Aufgabe 4:

Ein Würfel sei so in endlich viele Quader zerlegt, dass der Rauminhalt der Umkugel des Würfels so groß ist wie die Summe der Rauminhalte der Umkugeln aller Quader der Zerlegung.
Man beweise, dass dann alle diese Quader Würfel sind.

Aufgabe 1:

Es sei k eine positive ganze Zahl. Eine natürliche Zahl heißt k-typisch, wenn jeder ihrer Teiler bei Division durch k den Rest 1 lässt.
Man beweise:
a) Wenn die Anzahl der Teiler einer positiven ganzen Zahl n (einschließlich 1 und n) k-typisch ist, dann ist n die k-te Potenz einer ganzen Zahl.
b) Die Umkehrung der Aussage a) ist falsch, wenn k größer als 2 ist.

Aufgabe 2:

Es sei k eine positive ganze Zahl. In einem Kreis mit Radius 1 seien endlich viele Sehnen gezogen. Jeder Durchmesser habe mit höchsten k dieser Sehnen gemeinsame Punkte.
Man beweise, dass die Summe der Längen aller dieser Sehnen kleiner als k·π ist.

Aufgabe 3:

Gegeben seien zwei Kreise k₁ und k₂, die sich in den beiden verschiedenen Punkten A und B schneiden. Die Tangente an k₂ im Punkt A schneide k₁ außer in A in einem Punkt C₁; entsprechend schneide die Tangente an k₁ im Punkt A den Kreis k₂ in einem weiteren Punkt C₂. Die Gerade (C₁C₂) schließlich schneide k₁ in einem von C₁ und B verschiedenen Punkt D.
Man beweise, dass die Gerade (BD) die Sehne AC₂ halbiert.

Aufgabe 4:

Man beweise, dass es unendlich viele Paare (x,y) verschiedener positiver rationaler Zahlen gibt, für die sowohl √(x²+y³) als auch √(x³+y²) rational ist.

Aufgabe 1:

Im Zentrum eines 2005 x 2005-Schachbretts liegt ein Spielwürfel, der in einer Folge von Zügen über das Brett bewegt werden soll. Ein Zug besteht dabei aus folgenden drei Schritten:
- Man dreht den Würfel mit einer beliebigen Seite nach oben,
- schiebt dann den Würfel um die angezeigte Augenzahl nach rechts oder um die angezeigt Augenzahl nach links und
- schiebt anschließend den Würfel um die verdeckt liegende Augenzahl nach oben oder um die verdeckt liegende Augenzahl nach unten.
Das erreichte Feld ist das Ausgangsfeld für den nächsten Zug.
Welche Felder lassen sich durch eine endliche Folge derartiger Züge erreichen? Die Richtigkeit der Antwort ist zu beweisen.

Aufgabe 2:

Die ganze Zahl a habe die Eigenschaft, dass 3a in der Form x² + 2y² mit ganzen Zahlen x, y darstellbar ist.
Man beweise, dass dann auch a in dieser Form darstellbar ist.

Aufgabe 3:

Den Seiten a, b, c eines Dreiecks liegen die Winkel α, β, γ gegenüber. Es sei ferner 3α + 2β = 180°.
Man beweise, dass dann a² + bc = c² ist.

Aufgabe 4:

Für welche positiven ganzen Zahlen n kann man die n Zahlen 1, 2, 3, ..., n so in einer Reihe anordnen, dass für je zwei beliebige Zahlen der Reihe ihr arithmetisches Mittel nicht irgendwo zwischen ihnen steht?
Die Richtigkeit der Antwort ist zu beweisen.

Aufgabe 1:

Zwei Spieler A und B haben auf einem 100x100-Schachbrett je einen Stein. Sie ziehen abwechselnd ihren Stein, wobei jeder Zug aus einem Schritt senkrecht oder waagrecht auf ein Nachbarfeld besteht und A den ersten Zug ausführt. Zu Beginn liegt der Stein von A in der linken unteren Ecke und der Stein von B in der rechten unteren Ecke.
Man beweise: Der Spieler A kann unabhängig von den Spielzügen des Spielers B stets nach endlich vielen Zügen das Feld erreichen, auf dem gerade der Stein von B steht.

Aufgabe 2:

Es sei x eine rationale Zahl.
Man beweise: Es gibt nur endlich viele Tripel (a, b, c) ganzer Zahlen mit a < 0 und b² - 4ac = 5, für die ax² + bx + c positiv ist.

Aufgabe 3:

Zwei Kreise k₁ und k₂ schneiden sich in A und B. Eine erste Gerade durch B schneide k₁ in C und k₂ in E. Eine zweite Gerade durch B schneide k₁ in D und k₂ in F; dabei liege B zwischen den Punkten C und E sowie zwischen den Punkten D und F.
Schließlich seien M und N die Mittelpunkte der Strecken CE und DF. Man beweise: Die Dreiecke ACD, AEF und AMN sind zueinander ähnlich.

Aufgabe 4:

Es sei A(n) die maximale Anzahl der Selbstüberschneidungen von geschlossenen Streckenzügen P₁P₂...P_nP₁ (n≥3), bei denen keine drei der Eckpunkte auf einer Geraden liegen.
Man beweise:
a) A(n) = n (n-3) / 2, falls n ungerade
und
a) A(n) = n (n-4) / 2 + 1 , falls n gerade ist.

Erläuterung: Eine Selbstüberschneidung ist ein Schnitt zweier nicht benachbarter Strecken.

Aufgabe 1:

Man finde zwei aufeinander folgende positive ganze Zahlen, deren Quersummen beide durch 2006 teilbar sind.

Aufgabe 2:

Man beweise, dass es keine ganzen Zahlen x und y gibt, für die die Gleichung x³ + y³ = 4 (x²y + xy² + 1) gilt.

Aufgabe 3:

Für die Seitenlängen a, b und c eines Dreiecks gelte die Beziehung a² + b² > 5 c².
Man beweise, dass dann c die Länge der kürzesten Seite ist.

Aufgabe 4:

Ein quadratisches Blatt Papier liegt auf dem Tisch. Es wird schrittweise in mehrere Teile zerschnitten: Bei jedem Schnitt wird ein Teil vom Tisch genommen und durch einen geraden Schnitt in zwei Teile zerlegt; diese beiden Teile werden auf den Tisch zurückgelegt.
Man bestimme die kleinste Anzahl an Schritten, mit denen man erreichen kann, dass sich auf dem Tisch unter den Teilen wenigstens 100 Zwanzigecke befinden.

Anmerkung: In den Aufgaben 1 und 4 ist die Richtigkeit der Resultate zu beweisen.

Aufgabe 1:

Ein Kreis sei in 2n kongruente Sektoren eingeteilt, von denen n schwarz und die übrigen n weiß gefärbt sind. Die weißen Sektoren werden, irgendwo beginnend, im Uhrzeigersinn mit 1, 2, 3, ..., n nummeriert. Danach werden die schwarzen Sektoren, irgendwo beginnend, gegen den Uhrzeigersinn mit 1, 2, 3, ..., n nummeriert.
Man beweise, dass es n aufeinander folgende Sektoren gibt, in denen die Zahlen 1 bis n stehen.

Aufgabe 2:

Man bestimme alle reellwertigen Funktionen f, die auf der Menge der positiven rationalen Zahlen definiert sind, dort positive Funktionswerte besitzen und die Gleichung f(x) + f(y) + 2xy·f(xy) = f(xy) / f(x+y) für alle positiven rationalen x,y erfüllen.

Aufgabe 3:

Gegeben seien ein spitzwinkliges Dreieck ABC und ein beliebiger Punkt P im Innern des Dreiecks. Die Lotfußpunkte von P auf die Seiten AB, BC und CA seien C', A' bzw. B'.
Bei welchen Lagen von P gelten Winkel(BAC) = Winkel (B'A'C') und Winkel(CBA) = Winkel (C'B'A')?

Aufgabe 4:

Eine positive ganze Zahl heiße ziffernreduziert, wenn in ihrer Dezimaldarstellung höchstens neun verschiedene Ziffern vorkommen. (Dabei werden führende Nullen nicht berücksichtigt.)
Es sei M eine endliche Menge ziffernreduzierter Zahlen.
Man beweise, dass die Summe der Kehrwerte der Zahlen aus M kleiner als 180 ist.

Anmerkung: In den Aufgaben 2 und 3 ist die Richtigkeit der Resultate zu beweisen.

Aufgabe 1:

Gegeben sei ein regelmäßiges 2007-Eck. Die natürlichen Zahlen 1, 2, ..., 4014 sollen so auf die Eckpunkte und Seitenmittelpunkte verteilt werden, dass für jede Seite die Summe der drei Zahlen, die an den Eckpunkten und am Mittelpunkt der Seite stehen, den gleichen Wert hat.
Man zeige, dass eine solche Verteilung möglich ist.

Aufgabe 2:

Jede positive ganze Zahl soll entweder rot oder grün so gefärbt werden, dass folgende Eigenschaften bestehen:
- Die Summe dreier nicht notwendig verschiedener roter Zahlen ist eine rote Zahl.
- Die Summe dreier nicht notwendig verschiedener grüner Zahlen ist eine rote Zahl.
- Es gibt sowohl rote als auch grüne Zahlen.
Man finde alle derartigen Färbungen.

Aufgabe 3:

Im Inneren der Seiten AC und BC eines Dreiecks ABC liegen die Punkte E und F so, dass die Strecken AE und BF gleich lang sind und sich die Kreise durch A, C und F bzw. durch B, C und E außer in C in einem weiteren Punkt D schneiden.
Man beweise, dass die Gerade CD den Winkel ACB halbiert.

Aufgabe 4:

Es sei a eine positive ganze Zahl. Wie viele nicht-negative ganzzahlige Lösungen x hat die Gleichung [ x/a ] = [ x/(a+1) ]?

Erläuterung: Für jede reelle Zahl z wird mit [ z ] die größte ganze Zahl bezeichnet, die nicht größer als z ist

Aufgabe 1:

Für welche Zahlen n gibt es eine positive ganze Zahl k mit folgender Eigenschaft: Die Zahl k hat die Quersumme n und die Zahl k² hat die Quersumme n²?

Aufgabe 2:

Am Anfang eines Spiels liegen r rote und g grüne Steine auf einem Tisch. Anja und Bernd ziehen abwechselnd nach folgenden Regeln, wobei Anja beginnt:
Wer am Zug ist, wählt eine Farbe und entfernt k Steine dieser Farbe. Dabei muss k ein Teiler der augenblicklichen Anzahl der Steine der anderen Farbe sein. Wer den letzten Stein wegnimmt, ist Gewinner.
Wer kann den Gewinn erzwingen?

Aufgabe 3:

Für eine Menge E von Punkten des dreidimensionalen Raumes sei L(E) die Menge aller Punkte, die auf Geraden durch zwei verschiedene Punkte aus E liegen.
Es sei T die Menge der Eckpunkte eines regulären Tetraeders. Aus welchen Punkten besteht die Menge L(L(T))?

Aufgabe 4:

Ein regelmäßiges Sechseck sei, wie im Bild dargestellt (Anm.: leider kein Scan vorhanden), durch Parallelen zu seinen Seiten in 54 kongruente gleichseitige Dreiecke zerlegt. In der entstehenden Figur gibt es dann genau 37 Punkte, die Ecken wenigstens eines der Dreiecke sind. Diese Punkte werden irgendwie von 1 bis 37 nummeriert.
Ein Dreieck heißt uhrig, wenn man von der Ecke mit der kleinsten Nummer im Uhrzeigersinn laufend zuerst zu der Ecke mit der mittleren Nummer und dann zu der Ecke mit der höchsten Nummer gelangt.
Man beweise, dass mindestens 19 der 54 Dreiecke uhrig sind.

Aufgabe 1:

Fritz hat mit Streichhölzern gleicher Länge die Seiten eines Parallelogramms gelegt, dessen Ecken nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Er stellt fest, dass in die Diagonalen genau 7 bzw. 9 Streichhölzer passen.
Wie viele Streichhölzer bilden den Umfang des Parallelogramms?

Aufgabe 2:

Man stelle die Zahl 2008 so als Summe natürlicher Zahlen dar, dass die Addition der Kehrwerte der Summanden die Zahl 1 ergibt.

Aufgabe 3:

Man beweise folgende Aussage: In einem spitzwinkligen Dreieck ABC schneiden sich die Winkelhalbierende w_α, die Seitenhalbierende s_b und die Höhe h_c genau dann in einem Punkt, wenn w_α die Seite BC und der Kreis um den Höhenfußpunkt H_c durch die Ecke A einen Punkt gemeinsam haben.

Aufgabe 4:

In einem ebenen Koordinatensystem stehen auf Punkte mit ganzzahligen Koordinaten vier Spielsteine. Sie können nach folgender Regel gezogen werden: Ein Stein kann auf eine neue Position gezogen werden, wenn in der Mitte zwischen seiner alten und neuen Position einer der übrigen Steine steht.
Zu Beginn stehen die vier Spielsteine auf den Punkten (0,0), (0,1), (1,0) und (1,1). Kann man nach endlich vielen Zügen erreichen, dass die vier Steine auf je einem der Punkte (0,0), (1,1), (3,0) und (2,-1) stehen?

Anmerkung: Die Richtigkeit der Resultate ist zu beweisen.

Aufgabe 1:

Man bestimme alle reellen Lösungen der Gleichung ⁵√(x³ + 2x) = ³√(x⁵ - 2x).
Dabei sei - im Unterschied zu manchen Definitionen in der Fachliteratur - für eine ungerade ganze Zahl n>1 die Wurzel ⁿ√(a) auch für negative reelle Radikanden a erklärt: Sie sei diejenige reelle Zahl b, für die bⁿ=a ist.

Aufgabe 2:

Die positiven ganzen Zahlen a, b und c seien so gewählt, dass auch die Quotienten bc/(b+c), ca/(c+a) und ab/(a+b) ganzzahlig sind.
Man beweise, dass a, b und c einen gemeinsamen Teiler haben, der größer als 1 ist.

Aufgabe 3:

Durch einen Punkt im Innern einer Kugel werden drei paarweise aufeinander senkrecht stehende Ebenen gelegt. Diese zerlegen die Kugeloberfläche in acht krummlinige Dreiecke. Die Dreiecke werden abwechselnd schwarz und weiß so gefärbt, dass die Oberfläche der Kugel schachbrettartig aussieht.
Man beweise, dass dann genau die Hälfte der Kugeloberfläche schwarz gefärbt ist.

Aufgabe 4:

Auf einem Bücherbord stehen nebeneinander n Bücher (n≥3) von lauter unterschiedlichen Autoren. Ein Bibliothekar betrachtet das erste und das zweite Buch von links und vertauscht diese beiden genau dann, wenn sie nicht in der alphabetischen Reihenfolge ihrer Autoren stehen. Danach macht er das Gleiche mit dem zweiten und dritten Buch von links usw. Auf diese Weise geht er die Buchreihe insgesamt dreimal von links nach rechts durch.
Bei wie vielen verschiedenen Ausgangsordnungen der Bücher sind diese dann alphabetisch geordnet?

Anmerkung: In den Aufgaben 1 bis 4 ist die Richtigkeit der Resultate zu beweisen.