Aufgabe 1:

An einer Tafel stehen die Zahlen 1, 2, ... , 1970. Man darf irgend 2 Zahlen wegwischen und dafür ihre Differenz anschreiben. Wiederholt man diesen Vorgang genügend oft, so bleibt an der Tafel schließlich nur noch eine Zahl stehen. Es ist nachzuweisen, daß diese Zahl ungerade ist.

Aufgabe 2:

Gegeben ist ein Stück Papier. Es wird in 8 oder 12 beliebige Stücke zerschnitten. Jedes der entstehenden Stücke darf man wieder in 8 oder 12 Stücke zerschneiden oder unzerschnitten lassen, usw. Kann man auf diese Weise 60 Stücke bekommen? Zeige, daß man jede beliebige Anzahl, die größer als 60 ist, erhalten kann.

Aufgabe 3:

Von beliebigen 5 Strecken wird lediglich vorausgesetzt, daß man jeweils drei von ihnen zu Seiten eines Dreiecks machen kann. Es ist nachzuweisen, daß mindestens eines der Dreiecke spitzwinklig ist.

Aufgabe 4:

Es sei P das links liegende, Q das rechts liegende von zwei benachbarten Feldern eines Schachbretts aus n · n Feldern. Auf dem linken Feld P steht ein Spielstein. Er soll über das Schachbrett bewegt werden. Als Bewegungen sind zugelassen:
1) Versetzung auf das oben liegende Nachbarfeld
2) Versetzung auf das rechts liegende Nachbarfeld
3) Versetzung auf das links unten anstoßende Nachbarfeld
z. B.: e5 -> e6, f5, d4.
Beweise: Für keine Zahl n kann der Stein alle Felder je einmal besuchen und seine Wanderung in Q beenden.

Aufgabe 1:

a, b, c, d sind natürliche Zahlen mit ab = cd. Daraus folgt, daß a² + b² + c² + d² keine Primzahl ist.
Man formuliere und beweise auch eine Verallgemeinerung dieses Satzes.

Aufgabe 2:

Die Bewohner eines Planeten haben eine Sprache, die nur die Buchstaben A und O besitzt. Zur Vermeidung von Fehlern unterscheiden sich irgend zwei Wörter gleicher Buchstabenlänge an mindestens drei Stellen. Zeige, daß es nicht mehr als 2ⁿ / (n+1) Wörter mit n Buchstaben gibt.

Aufgabe 3:

In einem Land gibt es nur Einbahnstraßen. Zwischen irgend zwei Städten besteht eine und nur eine direkte Straßenverbindung. Zeige, daß es eine Stadt gibt, die von jeder anderen Stadt aus direkt oder über höchstens eine zweite Stadt erreicht werden kann.

Aufgabe 4:

Im Innern eines Quadrats mit der Seite 1 liegt ein sich nicht überschneidender Streckenzug, dessen Länge größer als 1000 ist. Beweise, daß es zu jedem solchen Streckenzug eine Parallele zu einer der Quadratseiten gibt, welche den Streckenzug in mindestens 501 Punkten schneidet.

Aufgabe 1:

Auf jedem Feld eines Schachbrettes von n · n Feldern steht eine Zahl. Die Summe der Zahlen in einem "Kreuz" (Vereinigung Zeile-Spalte) ist >= a. Welches ist die kleinstmögliche Summe aller Zahlen auf dem Schachbrett?

Aufgabe 2:

In einer Ebene liegen n gleichgroße kreisrunde Bierfilze B₁, B₂, ... , B_n (n>=3). B_i berührt B_i+1 (i = 1, ... , n); B_n+1=B₁. Die Bierfilze liegen so, daß ein weiterer gleichgroßer Bierfilz B beim Abrollen außen an der geschlossenen Kette der Bierfilze der Reihe nach jeden Bierfilz berührt. Wieviele Umdrehungen macht B bis zur Rückkehr in die Ausgangslage?

Aufgabe 3:

In einer Menge mit n Elementen sind 2^n-1 Teilmengen derart ausgewählt, daß jeweils drei dieser Teilmengen ein gemeinsames Element haben. Zeige, daß dann alle ausgewählten Teilmengen ein gemeinsames Element haben.

Aufgabe 4:

Beweise: Durchläuft n die Folge der natürlichen Zahlen, so durchläuft [ n + Sqrt(n) + 1/2 ] die Folge der natürlichen Zahlen mit Ausnahme der Quadratzahlen.

Hinweis: Für jede reelle Zahl x bezeichnet [x] die größte ganze Zahl, die nicht größer als x ist.

Aufgabe 1:

Auf einem Feld eines nach allen Seiten unendlichen Schachbretts steht ein Springer. Auf wieviel verschiedenen Feldern kann der Springer kann der Springer nach n Zügen stehen?

Aufgabe 2:

Beweise: Unter 79 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen gibt es mindestens eine, deren Quersumme durch 13 teilbar ist. Zeige auch, daß dies für 78 Zahlen nicht mehr zutrifft.

Aufgabe 3:

Das arithmetische Mittel zweier verschiedener natürlichen Zahlen x und y ist eine zweistellige Zahl. Sie geht in das geometrische Mittel von x und y über, wenn man ihre Ziffern vertauscht.
a) Bestimme x und y.
b) Weise nach, daß die Aufgabe a) bis auf die Reihenfolge von x und y genau ein Lösungspaar hat, wenn die Basis g des benutzten Stellenwertsystems 10 ist, daß es dagegen für g=12 keine Lösung gibt.
c) Gib weitere Zahlen g an, für die die Aufgabe a) lösbar ist, und solche Zahlen g, für die sie unlösbar ist.

Aufgabe 4:

An einem Schachpartie nehmen p Personen teil (p>2), zwei Spieler spielen höchstens eine Partie gegeneinander. Nachdem n Spiele gespielt sind, ist kein Spiel mehr im Gang, und in jeder Teilmenge von drei Spielern können mindestens einmal zwei Spieler gefunden werden, die noch nicht miteinander gespielt haben.
Zeige, daß n <= p² / 4 gilt.

Aufgabe 1:

Eine natürliche Zahl besitzt eine tausendstellige Darstellung im Dezimalsystem, bei der höchstens eine Ziffer von 5 verschieden ist. Man zeige, daß sie keine Quadratzahl ist.

Aufgabe 2:

Von den Punkten A und B eines ebenen Sees kann man in geradliniger Fahrt jeden Punkt des Sees erreichen. Es ist zu zeigen, daß man von jedem Punkt der Strecke AB ebenfalls jeden Punkt des Sees geradlinig erreichen kann.

Aufgabe 3:

Gegeben sind n Ziffern a₁ bis a_n in vorgesehener Reihenfolge. Gibt es eine natürliche Zahl, bei der die Dezimaldarstellung ihrer Quadratwurzel hinter dem Komma gerade mit diesen Ziffern in der vorgegebenen Reihenfolge beginnt? Das Ergebnis ist zu begründen.

Aufgabe 4:

Um einen runden Tisch sitzen n Personen. Die Anzahl derjenigen Personen, die das gleiche Geschlecht haben wie die Personen zu ihrer Rechten, ist gleich der Anzahl, für die das nicht gilt. Man beweise, daß n durch 4 teilbar ist.

Aufgabe 1:

In einem Quadrat mit der Seite 7 sind 51 Punkte markiert. es ist zu zeigen, daß es unter diesen Punkten stets drei gibt, die im Inneren eines Kreises mit Radius 1 liegen.

Aufgabe 2:

Mit einer im Zehnersystem geschriebenen natürlichen Zahl darf man folgende Operationen vornehmen:
a) am Ende der Zahl 4 anhängen
b) am Ende der Zahl 0 anhängen
c) die Zahl durch 2 teilen, wenn sie gerade ist.
Man zeige, daß man ausgehend von 4, jede natürliche Zahl erreichen kann durch eine Folge der Operationen a, b, c.

Aufgabe 3:

Zum Auslegen des Fußbodens eines rechteckigen Zimmers sind rechteckige Platten des Formates 2 mal 2 und solche des Formats 4 mal 1 verwendet worden. Man beweise, daß das Auslegen nicht möglich ist, wenn man von der einen Sorte eine Platte weniger und von der anderen Sorte eine Platte mehr verwenden will.

Aufgabe 4:

Man beweise: Für jede natürliche Zahl n gibt es eine im Dezimalsystem n-stellige Zahl aus den Ziffern 1 und 2, die durch 2ⁿ teilbar ist.
Gilt dieser Satz auch in einem Stellenwertsystem der Basis 4 bzw. 6?

Aufgabe 1:

Unter welchen notwendigen und hinreichenden Bedingungen befinden sich unter allen konvexen Formen eines Gelenkvierecks auch Trapeze?

Aufgabe 2:

Im Innern eines Quadrates mit der Seitenlänge 2 liegen 7 Vielecke vom Flächeninhalt 1. Man zeige, daß es darunter 2 Vielecke gibt, die sich in einer Fläche von mindestens dem Inhalt 1/7 überschneiden.

Aufgabe 3:

M sei eine Menge mit n Elementen, P sei die Menge aller echten und unechten Teilmengen von M. Wie groß ist die Anzahl der Paare (A,B) wenn A und B Element von P sind und A echte oder unechte Teilmenge von B ist?

Aufgabe 4:

In einem konvexen Vieleck sind alle Diagonalen gezogen.
Man beweise: Jede Seite und jede Diagonale können so mit einem Pfeil versehen werden, daß in Pfeilrichtung kein geschlossener Weg aus Seiten und Diagonalen möglich ist.

Aufgabe 1:

In einer Ebene sind 25 Punkte so gegeben, daß von irgend drei dieser Punkte stets zwei ausgewählt werden können, deren Entfernung kleiner als 1 ist. Es ist zu zeigen, daß es unter diesen Punkten 13 gibt, die man durch eine Kreisscheibe vom Radius 1 überdecken kann.
Man beweise auch die Verallgemeinerung dieses Satzes.

Aufgabe 2:

Von 30 gleich aussehenden Kugeln haben 15 das Gewicht a und 15 das Gewicht b (a<>b). Sie sollen nach unterschiedlichem Gewicht sortiert werden. Ein damit beauftragter Sortierer legt zwei Haufen von je 15 Kugeln vor und behauptet, die leichteren von den schwereren getrennt zu haben.
Wie kann man mit möglichst wenigen Wägungen auf einer zweischaligen Waage überprüfen, ob die Sortierung richtig ist?

Aufgabe 3:

In einem Halbkreis H vom Radius 1 über dem Durchmesser AB ist der Kreis K₁ vom Radius 1/2 einbeschrieben. Eine Folge verschiedener Kreise K₁, K₂, ... mit den Radien r₁, r₂, ... ist dadurch definiert, daß für jede natürliche Zahl n der Kreis K_n+1 den Halbkreis H, die Strecke AB und den Kreis K_n berührt. Man beweise, daß a_n = 1 / r_n für n = 1, 2, ... ganzzahlig ist, und zwar eine Quadratzahl, wenn n gerade ist, und das Doppelte einer Quadratzahl, wenn n ungerade ist.

Aufgabe 4:

Peter und Paul spielen um Geld. Sie bestimmen der Reihe nach bei jeder natürlichen Zahl deren größten ungeraden Teiler. Liegt dieser um 1 über einem ganzzahligen Vielfachen von 4, dann zahlt Peter an Paul eine DM, andernfalls Paul an Peter eine DM. Nach einiger Zeit brechen sie ab und machen Bilanz. Es ist nachzuweisen, daß Paul gewonnen hat.

Aufgabe 1:

In einem ebenen Koordinatensystem werden die Punkte mit nicht-negativen ganzzahligen Koordinaten gemäß der untenstehenden Figur numeriert.

15	20	...	...	...	...
10	14	19	...	...	...
6	9	13	18	...	...
3	5	8	12	17	...
1	2	4	7	11	16

Zum Beispiel hat der Punkt (3/1) die Nummer 12. Welche Nummer hat der Punkt (x/y)?

Aufgabe 2:

Man zeige, daß jedes konvexe Vielflach mindestens zwei Flächen mit gleicher Anzahl der Kanten besitzt.

Aufgabe 3:

Welche Vierecke mit aufeinander senkrecht stehenden Eckenlinien besitzen zugleich einen Inkreis und einen Umkreis?

Aufgabe 4:

In Sikinien, wo es nur endlich viele Städte gibt, gehen von jeder Stadt drei Straßen aus, von denen jede wieder in eine sikinische Stadt führt; andere Straßen gibt es dort nicht. Ein Tourist startet in der Stadt A und fährt nach folgender Regel: er wählt in der nächsten Stadt die linke Straße der Gabelung, in der übernächsten die rechte Straße, dann wieder die linke und so weiter, immer abwechselnd. Man zeige, daß er schließlich nach A zurückkommt.

Aufgabe 1:

a, b, c, d seien verschiedene positive reelle Zahlen. Man beweise: Liegt zwischen a und b mindestens eine der Zahlen c und d oder zwischen c und d mindestens eine der Zahlen a und b, so ist
(*) Sqrt( (a+b) · (c+d) ) > Sqrt(a · b) + Sqrt(c · d)
Andernfalls können die 4 Zahlen so gewählt werden, daß (*) falsch ist.

Aufgabe 2:

Man zeige, daß keine der Zahlen der Folge 10001, 100010001, 1000100010001, ... eine Primzahl ist.

Aufgabe 3:

Es sei a_n = 1/n · (x₁ + x₂ + ... + x_n) das arithmetische, g_n = (x₁x₂...x_n)^1/n das geometrische Mittel der natürlichen Zahlen x₁, x₂, ... , x_n. Mit S_n sei die folgende Behauptung bezeichnet: Ist a_n/g_n eine natürliche Zahl, so ist x₁ = x₂ = ... = x_n. Man beweise S₂ und widerlege S_n mindestens für alle geraden n > 2.

Aufgabe 4:

Zwei Brüder haben n Goldstücke vom Gesamtgewicht 2n geerbt. Die Gewichte der Stücke sind ganzzahlig, und das schwerste Stück ist nicht schwerer als alle übrigen Stücke zusammen. Man zeige, daß die Brüder ihr Erbe in zwei gleichschwere Teilmengen aufteilen können, falls n gerade ist.

Aufgabe 1:

Punkte mit ganzzahligen Koordinaten heißen Gitterpunkte. Im Raum sind neun Gitterpunkte P₁, P₂, ... P₉ beliebig ausgewählt. Man zeige, daß der Mittelpunkt mindestens einer der Strecken P_iP_j (1 <= i < j <= 9) ebenfalls ein Gitterpunkt ist.

Aufgabe 2:

Jede von zwei Gegenseiten eines konvexen Vierecks ist in sieben gleiche Teile geteilt. Die Verbindungsstrecken entsprechender Teilungspunkte teilen das Viereck in sieben Vierecke.
Man beweise, daß der Flächeninhalt von mindestens einem der entstandenen Vierecke 1/7 des Flächeninhalts des ganzen Vierecks ist.

Aufgabe 3:

Eine Menge S von rationalen Zahlen ist durch ein Baumdiagramm so geordnet, daß jedes Element a/b (a und b teilerfremde Zahlen) genau die beiden Nachfolger a/(a+b) und b/(a+b) erhält. Wie müssen a und b für das Anfagnselement gewählt werden, damit S die Menge aller rationalen Zahlen r mit 0 < r < 1 ist? Man gebe ein Verfahren zur Bestimmung der Anzahl der Schritte vom Ausgangselement bis zu dem Element p/q.

Aufgabe 4:

In einer Ebene sind n verschiedene Punkte (n > 2) gegeben. Jeder dieser Punkte ist mit mindestens einem der anderen durch eine Strecke verbunden, und keine dieser Verbindungsstrecken überschneidet eine andere. Man beweise, daß es höchstens 3n-6 derartige Verbindungsstrecken gibt.

Aufgabe 1:

Man beweise, daß 1¹ + 2ⁿ + ... + nⁿ durch n² teilbar ist, wenn n eine ungerade natürliche Zahl ist.

Aufgabe 2:

In einer Ebene liegen zwei kongruente Quadrate Q und Q'. Sie sollen so in Teilstücke T₁, T₂, ... , T_n bzw. T'₁, T'₂, ... , T'_n zerschnitten werden, daß T_i durch eine Parallelverschiebung V_i in T'_i überführt werden kann für i = 1, 2, ... , n.

Aufgabe 3:

Eine Kreislinie ist in 2n gleiche Bögen geteilt, und P₁, P₂, ... , P_2n ist irgendeine Permutation der Teilpunkte.
Man beweise, daß der geschlossene Streckenzug P₁P₂...P_2nP₁ mindestens ein paar paralleler Strecken besitzt.

Aufgabe 4:

Jeder Punkt des dreidimensionalen Raumes wird entweder rot oder blau eingefärbt. Man weise nach, daß es unter den in diesem Raum möglichen Quadraten mit der Seitenlänge 1 wenigstens eines mit drei roten Eckpunkten oder wenigstens eines mit 4 blauen Eckpunkten gibt.

Aufgabe 1:

Unter 2000 paarweise verschiedenen natürlichen Zahlen befinden sich je zur Hälfte gerade und ungerade Zahlen. Die Summe aller ist kleiner als 3000000.
Man zeige, daß mindestens eine der Zahlen durch 3 teilbar ist.

Aufgabe 2:

Ein Käfer krabbelt auf den Kanten einer n-seitigen Pyramide. Sein Weg beginnt und endet im Mittelpunkt A einer Grundkante. Unterwegs durchläuft der jeden Punkt höchstens einmal.
Wie viele verschiedene Wege stehen ihm zur Verfügung? (Zwei Wege gelten hierbei als gleich, wenn sie aus denselben Punkten bestehen.)
Man zeige, daß die Summe der Eckenzahlen aller dieser Wege 1² + 2² + ... + n² ist.

Aufgabe 3:

Die Zahl 50 sei als Summe nicht unbedingt verschiedener natürlicher Zahlen dargestellt. Das Produkt dieser Zahlen ist durch 100 teilbar. Wie groß kann das Produkt höchstens sein?

Aufgabe 4:

In einem Sehnenviereck sind von den Seitenmitten die Lote auf die Gegenseite gefällt.
Man zeige, daß diese Lote durch einen Punkt gehen.

Aufgabe 1:

Gibt es zwei unendliche, aus nicht-negativen ganzen Zahlen bestehende Mengen A und B, so daß jede nicht-negative ganze Zahl auf genau eine Weise als Summe einer zu A gehörigen und einer zu B gehörigen Zahl geschrieben werden kann?

Aufgabe 2:

In einer Ebene sind drei nicht kollineare Punkte A, B, C gegeben. Mit Hilfe einer gegebenen beweglichen Kreisscheibe, mit der man die drei Punkte zugeich bedecken kann und deren Durchmesser vom Durchmesser des Kreises durch A, B, C verschieden ist, soll die vierte Ecke des Parallelogramms ABCD konstruiert werden.
(Die Kreisscheibe wird als Kurvenlineal benützt, indem man sie an zwei Punkte anlegt. Punkte sind entweder gegeben oder entstehen als Schnittpunkte von mit dem Kurvenlineal gezeichneten Kreisen.)

Aufgabe 3:

Man zeige, daß es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, die man nicht in der Form
a = a₁⁶ + a₂⁶ + ... + a₇⁶
darstellen kann, wobei a₁, a₂, ... , a₇ natürliche Zahlen sind.
Man beweise auch eine Verallgemeinerung.

Aufgabe 4:

Die Funktion f ist auf der Menge D aller von 0 und 1 verschiedenen rationalen Zahlen definiert und erfüllt für jedes x Element von D die Gleichung
f(x) + f(1-1/x) = x
Man bestimme f.

Aufgabe 1:

Die Gangart eines Springers beim Schachspiel wird so geändert, daß er anstatt der üblichen Bewegung um 1 und 2 Felder in zueinander senkrechten Richtungen eine solche um p und q Felder ausführt. Das Schachbrett sei dabei nach allen Seiten unbegrenzt. Nach n Zügen steht der Springer wieder auf seinem Ausgangsfeld.
Man beweise, daß n stets eine gerade Zahl ist.

Aufgabe 2:

Ein Satz von n² Spielmarken besteht aus je n Stück mit den Aufschriften "1", "2", "3", ... , "n". Kann man sie alle so in gerader Linie aufreihen, daß immer zwischen einer Marke mit der Aufschrift "x" und der nächsten Marke mit der Aufschrift "x" genau x Marken mit von "x" verschiedener Aufschrift liegen und das für alle x Element von {1, 2, ... , n}?

Aufgabe 3:

Unter der Restsumme r(n) einer natürlichen Zahl n versteht man die Summe aller Reste, die bei Division von n durch die natürlichen Zahlen von 1 bis n entstehen.
Man zeige: Ist von zwei aufeinanderfolgenden Zahlen die größere eine Zweierpotenz, so haben beide Zahlen die gleiche Restsumme.

Aufgabe 4:

Im Dreieck ABC wird A an B nach A₁, B an C nach B₁ und C an A nach C₁ gespiegelt. Man konstruiere das Dreieck ABC, falls nur die Punkte A₁, B₁, C₁ gegeben sind.

Aufgabe 1:

a, b und c seien die Seitenlängen eines Dreiecks. Weiter sei R = a² + b² + c² und S = (a + b + c)². Man beweise, daß stets gilt 1/3 <= R/S < 1/2 und daß sich dabei die Zahl 1/2 nicht durch eine kleinere ersetzen läßt.

Aufgabe 2:

Im Inneren eines Quadrats mit dem Flächeninhalt 1 sind sieben beliebige Punkte gewählt. Zusammen mit den Ecken des Quadrats bilden sie eine Menge M von elf Punkten. Betrachtet werden nun alle Dreiecke, deren Ecken zu M gehören.
a) Man beweise: Mindestens eines dieser Dreiecke hat einen Flächeninhalt, der höchstens 1/16 beträgt.
b) Man gebe ein Beispiel, bei dem die sieben Punkte so gewählt sind, daß keine vier von ihnen auf einer Geraden liegen und der Flächeninhalt eines jeden der betrachteten Dreiecke mindestens 1/16 beträgt.

Aufgabe 3:

Sünn und Tacks benutzen zu einem Spiel, das über mehrere Runden geht, folgende Wörter: Bad, Binse, Käfig, Kosewort, Maitag, Name, Pol, Parade, Wolf. Zwei Wörter gelten als verträglich miteinander, wenn sie genau einen Konsonanten gemeinsam haben.
In der 1. Runde bestimmt Sünn für sich und für Tacks je eines der neun Wörter als Startwort. In jeder weiteren Runde nennt zuerst Sünn ein Wort, das mit seinem Wort aus der vorherigen Runde verträglich ist, darauf nennt Tacks seinerseits ein mit seinem Wort aus der vorhergegangen Runde verträgliches Wort.
Tacks hat gewonnen, wenn in der Folge der abwechselnd von Sünn und Tacks genannten Wörter zwei unmittelbar benachbarte Wörter gleich sind.
a) Man zeige, daß Tacks bei geschicktem Spiel immer gewinnt. Wie viele Runden sind dazu höchstens nötig?
b) Auf Wunsch von Sünn wird das Wort "Käfig" durch das Wort "Feige" ersetzt. Man zeige, daß nun Tacks nicht mehr gewinnen kan, falls Sünn die Startwörter geeignet wählt und geschickt spielt.

Aufgabe 4:

Die Darstellung einer Primzahl im Zehnersystem habe die Eigenschaft, daß jede Permutation der Ziffern wieder die Dezimaldarstellung einer Primzahl ergibt.
Man zeige, daß bei jeder möglichen Anzahl der Stellen höchstens drei verschiedene Ziffern in der Dezimaldarstellung vorkommen.
Man beweise auch eine Verschärfung dieses Satzes.

Aufgabe 1:

Einer Fußball-Liga gehören n Vereine an. Eine Spielrunde umfaßt die Gesamtheit aller Spiele, bei denen jeder Verein genau einmal gegen jeden anderen spielt. Wieviele Spielwochen sind für die Durchführung der Spielrunde mindestens erforderlich, wenn jeder Verein wöchentlich höchstens ein Spiel gegen einen der anderen Vereine austrägt? Man gebe ein Verfahren zur Aufstellung eines Spielplans an.

Ausgabe 2:

Die Ecken zweier verschiedener Quadrate sind gegen den Uhrzeigersinn mit A₁, B₁, C₁ und D₁ bzw. A₂, B₂, C₂ und D₂ bezeichnet. Dabei ist A₁ = A₂. Man beweise, daß die Geraden (B₁B₂), (C₁C₂) und (D₁D₂) einen Punkt gemeinsam haben.

Aufgabe 3:

Im Dezimalsystem gibt es zweistellige Zahlen, die sich so in zwei natürliche Faktoren zerlegen lassen, daß die beiden Faktoren und die beiden Ziffern der Zahl eine Menge aus vier aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen bilden. (Beispiel: 12 = 4 · 3). Men bestimme aller derartigen Zahlen in allen Stellenwertsystemen.

Aufgabe 4:

Es sei a eine ganze Zahl, die nicht durch 5 teilbar ist. Man beweise, daß das Polynom f(x) = x⁵ - x + a nicht als Produkt zweier Polynome positiven Grades mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden kann.

Aufgabe 1:

Jeder Punkt der Ebene sei rot oder blau gefärbt. Man beweise, daß es dann ein Rechteck mit Eckpunkten gleicher Farbe gibt.
Man beweise eine Verallgemeinerung.

Aufgabe 2:

Ein Kreis k mit Radius r und Mittelpunkt M sei fest vorgegeben. Welche Figur bilden die die Inkreismittelpunkte aller stumpfwinkligen Dreiecke mit dem Umfang k?

Aufgabe 3:

Zu einem Turnier treten n Teilnehmer an, durchnumeriert von 0 bis n-1. Nach Abschluß des Wettkampfs stellt jeder Teilnehmer für seine Nummer s und seine Punktanzahl t fest:
Genau t Teilnehmer haben je s Punkte erreicht.
Man gebe zu allen möglichen Lösungen fuer jeden Teilnehmer die Anzahl der erzielten Punkte an.

Aufgabe 4:

p₁, p₂, p₃, ... sei eine unendliche Folge natürlicher Zahlen in Dezimaldarstellung. Für jedes natürliche i (Element von N) gelte: Die letzte Ziffer von p_i+1 - also die Einerziffer - ist von 9 verschieden; streicht man sie, so erhält man p_i.
Man zeige, daß die Folge unendlich viele zusammengesetzte Zahlen enthält.