Aufgabe 1:

Eine Tafel besteht aus seche nebeneinanderliegenden Feldern. Zwei Spieler A und B tragen abwechselnd so lange je eine der Ziffern 0, 1, 2, ... , 9 in ein beliebiges noch freies Feld ein, bis alle Felder besetzt sind; dabei dürfen verschiedene Felder mit derselben Ziffer belegt werden. A fängt an. Nachdem B eine Ziffer in das letzte freie Feld eingetragen hat, werden die sechs aneinandergereihten Ziffern als Dezimaldarstellung einer ganzen Zahl z gedeutet. B hat gewonnen, wenn z durch eine vorher vereinbarte natürliche Zahl n teilbar ist. Für welche natürlichen Zahlen n zwischen 1 und 20 kann B durch geschicktes Spiel den Gewinn erzwingen, für welche nicht?

Aufgabe 2:

Im Dreieck ABC schneiden die Winkelhalbierenden der Innenwinkel bei A und B die jeweils gegenüberliegenden Dreieckseiten in D bzw. E. P liege auf der Verbindungsgeraden von D und E. Man beweise, daß der Abstand des Punktes P von der Geraden (AB) gleich der Summe oder Differenz seiner Abstände von (BC) und von (CA) ist.

Aufgabe 3:

In der Ebene sind 2n + 3 (n Element von N) Punkte gegeben, von denen keine drei auf einer Geraden und keine vier auf einem Kreis liegen. Man zeige, daß es einen Kreis durch drei der Punkte gibt, so daß von den übrigen 2n Punkten n innerhalb und n außerhalb des Kreises liegen.

Aufgabe 4:

Gegeben sei die Folge a₁, a₂, a₃, ... mit a_n = 1 / [n · (n+1)] für alle n Element von N.
Auf wie viele verschiedene Weisen läßt sich der Bruch 1/1980 als Summe endlich vieler aufeinanderfolgender Glieder dieser Folge darstellen?

Aufgabe 1:

Man beweise: Ist nicht jede der beiden natürlichen Zahlen a und b eine Kubikzahl, so ist a^1/3 + b^1/3 irrational.

Aufgabe 2:

P sei eine Menge von n Primzahlen. M sei eine Menge von mehr als n natürlichen Zahlen, die alle keine Quadratzahlen sind und von denen keine einen Primfaktor hat, der nicht in P enthalten ist.
Man beweise, daß es stets eine nicht-leere Teilmenge T von M gibt, bei der das Produkt aller ihrer Elemente eine Quadratzahl ist.

Aufgabe 3:

Im Dreieck ABC sei P ein Punkt auf der Seite AB, Q ein Punkt auf der Seite BC und R ein Punkt auf der Seite AC. P, Q und R seien nicht Ecken des Dreiecks. Betrachtet werden die Kreise durch A, P und R, durch B, P und Q und durch Q, C und R.
Man beweise, daß die Mittelpunkte dieser drei Kreise die Ecken eines zum Dreieck ABC ähnlichen Dreiecks sind.

Aufgabe 4:

Eine Zahlenfolge a₁, a₂, a₃, ... ist definiert durch
a₁ = 1,
a₂ = 2,
a_n+2 = 5a_n+1 - 3a_n, falls a_n · a_n+1 gerade
a_n+2 = a_n+1 - a_n, falls a_n · a_n+1 ungerade
Man beweise:
a) Die Folge enthält unendlich viele positive und unendlich viele negative Glieder.
b) Kein Glied der Folge ist gleich null.
c) Ist n = 2^k - 1 (k Element von {2, 3 , 4, ...}), so ist a_n durch 7 teilbar.

Aufgabe 1:

Es seien a und n natürliche Zahlen und s = a + a² + ... + aⁿ.
Man beweise: In der Dezimaldarstellung hat s dann und nur dann die Einerziffer 1, wenn auch a und n in ihrer Dezimaldarstellung beide die Einerziffer 1 haben.

Aufgabe 2:

Man beweise: Gilt für die Seitenlängen a, b und c eines nicht gleichseitigen Dreiecks die Beziehung a + b = 2 · c, dann ist die Verbindungsstrecke zwischen Schwerpunkt und Inkreismittelpunkt parallel zu einer Seite des Dreiecks.

Aufgabe 3:

Eine quadratische Fläche der Seitenlänge 2ⁿ ist schachbrettartig in Einheitsquadrate unterteilt. Eines dieser Einheitsquadrate wird entfernt.
Man zeige, daß die verbleibende Fläche stets durch Platten der Form , bestehend aus drei Einheitsquadraten, lückenlos überschneidungsfrei bedeckt werden kann.

Aufgabe 4:

Man beweise: Wenn p eine Primzahl ist, dann läßt sich 2^p + 3^p nicht in der Form n^k mit natürlichen Zahlen n und k (k > 1) darstellen.

Aufgabe 1:

Eine Zahlenfolge a₁, a₂, a₃, ... hat folgende Eigenschaft: a₁ ist eine natürliche Zahl, und es gilt a_n+1 = [1,5 · a_n] + 1 für alle n Element von N. Kann man a₁ so wählen, daß die ersten 100000 Glieder der Folge alle gerade sind und das 100001-te Glied ungerade ist?

Aufgabe 2:

Durch eine bijektive Abbildung der Ebene auf sich werde jeder Kreis in einen Kreis überführt.
Man beweise, daß eine solche Abbildung jede Gerade in eine Gerade überführt.

Aufgabe 3:

Es sei k eine natürliche Zahl und n = 2^k-1. Man beweise: Aus 2n-1 natürlichen Zahlen lassen sich stets n Zahlen so auswählen, daß deren Summe durch n teilbar ist.

Aufgabe 4:

M sei eine nichtleere Menge natürlicher Zahlen, die mit jedem Element x auch 4x und [Sqrt(x)] enthält.
Man beweise, daß jede natürliche Zahl zu M gehört.

Hinweis: [x] bezeichnet die größte ganze Zahl, die nicht größer als x ist (Gauß-Funktion).

Aufgabe 1:

S sei die Summe der größten ungeraden Teiler der 2ⁿ natürlichen Zahlen von 1 bis 2ⁿ.
Man beweise: 3 · S = 4ⁿ + 2.

Aufgabe 2:

In einem konvexen Viereck ABCD seien die Seiten AB und DC je in m gleiche Teile geteilt. Die Teilungspunkte auf AB seien von A aus der Reihe nach mit S₁, S₂, ... , S_m-1 bezeichnet, die auf DC von D aus mit T₁, T₂, ... , T_m-1. Ebenso seien die Gegenseiten BC und AD von B und A aus durch die Punkte U₁, U₂, ... , U_n-1 bzw. V₁, V₂, ... , V_n-1 je in n gleiche Teile zerlegt.
Man beweise: Jede der Strecken S_iT_i (1 <= i <= m-1) wird von den Strecken U_jV_j (1 <= j <= n-1) in gleichlange Teilstrecken unterteilt.

Aufgabe 3:

In der Ebene ist ein konvexes 1982-Eck gegeben. Es werden alle Dreiecke betrachtet, deren Ecken zugleich Eckpunkt dieses Vielecks sind. Ein Punkt P der Ebene liege auf keiner der Seiten dieser Dreiecke.
Man beweise, daß die Anzahl der betrachteten Dreiecke, die P im Inneren enthalten, gerade ist.

Aufgabe 4:

Eine Menge reeller Zahlen heißt summenfrei, wenn sie keine Elemente x, y, z mit der Eigenschaft x + y = z enthält. Eine summenfreie Teilmenge von {1, 2, 3, ... , 2n+1} enthalte k Elemente.
Man bestimme den maximalen Wert für k.

Aufgabe 1:

Max dividiert die natürliche Zahl p durch die natürliche Zahl q; dabei ist q <= 100. In der Dezimaldarstellung des Quotienten entdeckt Max irgendwo hinter dem Komma den Ziffernblock 1982.
Man beweise, daß Max sich verrechnet hat.

Aufgabe 2:

Man entscheide, ob sich jedes beliebige Dreieck ABC durch senkrechte Projektion auf eine geeignete Ebene in ein gleichseitiges Dreieck A'B'C' überführen läßt.

Aufgabe 3:

Für die nicht negativen reellen Zahlen a₁, a₂, ..., a_n gelte a₁ + a₂ + ... + a_n = 1.
Man beweise, daß dann der Term a₁ / (1 + a₂ + a₃ + ... + a_n) + a₂ / (1 + a₁ + a₃ + ... + a_n) + ... + a_n / (1 + a₁ + a₂ + ... + a_n-1) ein Minimum besitzt, und berechne es.

Aufgabe 4:

Für die positive ganze Zahl n sei 4ⁿ + 2ⁿ + 1 eine Primzahl.
Man beweise, daß n eine Dreierpotenz ist.

Aufgabe 1:

Die Oberfläche eines Fußballs setzt sich aus schwarzen Fünfecken und weißen Sechsecken zusammen. An die Seiten eines jeden Fünfecks grenzen lauter Sechsecke, während an die Seiten jedes Sechsecks abwechselnd Fünfecke und Sechsecke grenzen. Man bestimme aus diesen Angaben über den Fußball die Anzahl seiner Fünfecke und seiner Sechsecke.

Aufgabe 2:

Von einem rechtwinkligen Dreieck sind Umkreis- und Inkreisradius gegeben. Man konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal, beschreibe die Konstruktion und begründe ihre Richtigkeit.

Aufgabe 3:

Eine reelle Zahl heißt dreisam, wenn sie eine Dezimalentwicklung besitzt, in der keine von 0 und 3 verschiedene Ziffer vorkommt.
Man beweise, daß sich jede positive reelle Zahl als Summe von neun dreisamen Zahlen darstellen läßt.

Aufgabe 4:

Es sei g eine Gerade und n eine vorgegebene natürliche Zahl. Man beweise, daß sich stets n verschiedene Punkte auf g sowie ein nicht auf g liegender Punkt derart wählen lassen, daß die Entfernung je zweier dieser n+1 Punkte ganzzahlig ist.

Aufgabe 1:

Die nebenstehende Figur zeigt einen dreieckigen Billardtisch mit den Seiten a, b und c. Im Punkt S auf c befindet sich eine - als punktförmig anzunehmende - Kugel. Nach Anstoß durchläuft sie, wie in der Figur angedeutet, infolge Reflexion an a, b, a, b und c (in S) immer wieder dieselbe Bahn. Die Reflexion erfolgt nach dem Reflexionsgesetz.
Man charakterisiere die Gesamtheit aller Dreiecke ABC, die eine solche Bahn zulassen, und bestimme die Lage von S.

Aufgabe 2:

Zwei Personen A und B machen folgendes Spiel: Sie nehmen aus der Menge {0, 1, 2, 3, ..., 1024} abwechselnd 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 Zahlen weg, wobei A zuerst 512 Zahlen wegnimmt, B dann 256 Zahlen usw. Es bleiben zwei Zahlen a, b stehen (a<b).
B zahlt an A den Betrag b-a. A möchte möglichst viel gewinnen, B möglichst wenig verlieren.
Welchen Gewinn erzielt A, wenn jeder Spieler seiner Zielsetzung entsprechend optimal spielt? Das Ergebnis ist zu begründen.

Aufgabe 3:

Im Inneren eines Fünfecks liegen k Punkte. Sie bilden zusammen mit den Eckpunkten des Fünfecks eine (k+5)-elementige Menge M.
Die Fläche des Fünfecks sei durch Verbindungslinien zwischen den Punkten von M derart in Teilflächen zerlegt, daß keine Teilfläche in ihrem Inneren einen Punkt von M enthält und auf dem Rand jeder Teilfläche genau drei Punkte von M liegen. Keine der Verbindungslinien hat mit einer anderen Verbindungslinie oder mit einer Fünfeckseite einen Punkt gemeinsam, der nicht zu M gehört.
Kann bei einer solchen Zerlegung des Fünfecks von jedem Punkt von M eine gerade Anzahl von Verbindungslinien (hierzu zählen auch die Fünfeckseiten) ausgehen? Die Antwort ist zu begründen.

Aufgabe 4:

Für die Folge f(0), f(1), f(2), ... gilt:
f(0) = 0 und f(n) = n - f(f(n-1)) für n = 1, 2, 3, ... .
Man gebe eine Formel an, mit deren Hilfe man für jede natürliche Zahl n den Wert f(n) unmittelbar aus n und ohne Berechnung vorangegangener Folgenglieder bestimmen kann.

Hinweis: Ein Lösungsweg verwendet die auf R definierte GAUß-Funktion []. Dabei bezeichnet [x] die größte ganze Zahl, die nicht größer als x ist.

Aufgabe 1:

Es sei n eine natürliche Zahl und M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Zwei Personen A und B spielen in folgender Weise: A schreibt eine Ziffer aus M auf, B hängt eine Ziffer aus M an, und so wird abwechselnd je eine Ziffer aus M angehängt, bis die 2n-stellige Dezimaldarstellung einer Zahl entstanden ist. Ist diese Zahl durch 9 teilbar, so gewinnt B, andernfalls gewinnt A.
Für welche n kann A, für welche n kann B den Gewinn erzwingen?

Aufgabe 2:

Gegeben sei ein regelmäßiges n-Eck mit dem Umkreisradius 1. L sei die Menge der (verschiedenen) Längen aller Verbindungstrecken seiner Endpunkte.
Wie groß ist die Summe der Quadrate der Elemente von L?

Aufgabe 3:

Es seien a und b natürliche Zahlen. Man zeige: Ist a · b gerade, dann gibt es natürliche Zahlen c und d mit a² + b² + c² = d²; ist dagegen a · b ungerade, so gibt es keine solchen natürlichen Zahlen c und d.

Aufgabe 4:

In einem quadratischen Feld der Seitenlänge 12 befindet sich eine Quelle, die ein System von geradlinigen Bewässerungsgräben speist. Dieses ist so angelegt, daß für jeden Punkt des Feldes der Abstand zum nächsten Graben höchstens 1 beträgt. Dabei ist die Quelle als Punkt und sind die Gräben als Strecken anzusehen. Es ist nachzuweisen, daß die Gesamtlänge der Bewässerungsgräben größer als 70 ist.
Die Skizze zeigt ein Beispiel für ein Grabensystem der angegebenen Art.

Aufgabe 1:

Die natürlichen Zahlen n und z seien teilerfremd und größer als 1.
Für k = 0, 1, 2, ..., n-1 sei s(k) = 1 + z + z² + ... + z^k.
Man beweise:
a) Mindestens ein der Zahlen s(k) ist durch n teilbar.
b) Sind auch n und z-1 teilerfremd, so ist schon eine der Zahlen s(k) mit 0 <= k <= n-2 durch n teilbar.

Aufgabe 2:

Man bestimme alle beschränkten abgeschlossenen Teilmengen F der Ebene mit der folgenden Eigenschaft:
F besteht aus mindestens zwei Punkten und enthält mit je zwei Punkten A, B stets auch mindestens einen der beiden Halbkreisbögen über der Strecke AB.

Aufgabe 3:

Die Folgen a₁, a₂, a₃, ... und b₁, b₂, b₃, ... genügen für alle natürlichen Zahlen n der folgenden Rekursion:
a_n+1 = a_n - b_n und b_n+1 = 2b_n , falls a_n >= b_n,
a_n+1 = 2a_n und b_n+1 = b_n - a_n , falls a_n < b_n.
Für welche Paare (a₁, b₁) von positiven reellen Anfangsgliedern gibt es einen Index k mit a_k = 0?

Aufgabe 4:

Eine Kugel wird von allen vier Seiten eines räumlichen Vierecks berührt.
Man beweise, daß alle vier Berührpunkte in ein und derselben Ebene liegen.

Aufgabe 1:

Vierundsechzig Spielwürfel gleicher Größe mit den Augenzahlen "Eins" bis "Sechs" werden auf einen Tisch geschüttet und zu einem Quadrat mit acht waagrechten und acht senkrechten Würfelreihen zusammengeschoben. Durch Drehen der Würfel, unter Beibehaltung ihres Platzes, soll erreicht werden, daß schließlich bei allen vierundsechzig Würfeln die "Eins" nach oben zeigt. Die Würfel dürfen jedoch nicht einzeln gedreht werden, sondern es ist nur erlaubt, jeweils alle acht Würfel einer waagrechten oder senkrechten Reihe gemeinsam um 90° um die Längsachse dieser Reihe zu drehen.
Man beweise, daß es stets möglich ist, die Würfel durch mehrfaches Anwenden der erlaubten Drehungsart in die geforderte Endlage zu bringen.

Aufgabe 2:

Man beweise, daß in jedem Dreieck für jede seiner Höhen gilt:
Projiziert man den Fußpunkt der Höhe senkrecht auf die beiden anderen Höhen und die zugehörigen Seiten, so liegen die vier Bildpunkte auf einer Geraden.

Aufgabe 3:

Ausgehend von der Folge F₁ = (1, 2, 3, 4, ...) der natürlichen Zahlen werden weitere Folgen F₂, F₃, F₄, ... nach folgender Vorschrift gebildet:
F_n+1 entsteht aus F_n, indem unter Beibehaltung der Reihenfolge zu den durch n teilbaren Gliedern von F_n jeweils 1 addiert wird, während die übrigen Glieder unverändert übernommen werden.
So erhält man z.B.: F₂ = (2, 3, 4, 5, ...) und F₃ = (3, 3, 5, 5, ...).
Man bestimme alle natürlichen Zahlen n mit der Eigenschaft, daß genau die ersten n-1 Glieder von F_n den Wert n haben.

Aufgabe 4:

Jeder Punkt des dreidimensionalen Raumes wird mit genau einer der Farben Rot, Grün, Blau gefärbt. Die Mengen R bzw. G bzw. B bestehen aus den Längen derjenigen Strecken im Raum, deren beide Endpunkte gleichfarbig rot bzw. grün bzw. blau gefärbt sind.
Man zeige, daß mindestens eine dieser drei Mengen alle nichtnegativen reellen Zahlen enthält.

Aufgabe 1:

Man beweise, daß keine der binär geschriebenen Zahlen 11, 111, 1111, ... eine Quadratzahl, Kubikzahl oder höhere Potenz einer natürlichen Zahl ist.

Aufgabe 2:

Die Inkugel eines beliebigen Tetraeders habe den Radius r. An diese Inkugel werden die vier Tangentialebenen parallel zu den Seitenflächen des Tetraeders gelegt. Sie schneiden vom Tetraeder vier kleinere Tetraeder ab, deren Inkugelradien r₁, r₂, r₃ und r₄ seien.
Man beweise: r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = 2r.

Aufgabe 3:

Von einem Punkt im Raum gehen n Strahlen aus, wobei der Winkel zwischen je zwei dieser Strahlen mindestens 30° beträgt.
Man beweise, daß n kleiner als 54 ist.
Spätere Änderung der Aufgabenstellung: Streichen Sie die Behauptung "Man beweise, daß n kleiner als 54 ist". Ersetzen Sie sie durch "Man beweise, daß n kleiner als 59 ist".

Aufgabe 4:

Bei einer Versammlung treffen sich 512 Personen. Unter je 6 dieser Personen gibt es immer mindestens zwei, die sich gegenseitig kennen.
Man beweise, daß es auf dieser Versammlung sicher sechs Personen gibt, die sich alle gegenseitig kennen.

Aufgabe 1:

Auf einem Kreis liegen n Punkte (n > 1). Sie sollen so mit P₁, P₂, P₃, ... , P_n bezeichnet werden, daß der Streckenzug P₁P₂P₃...P_n überschneidungsfrei ist.
Auf wie viele verschiedene Arten ist dies möglich?

Aufgabe 2:

Es sei a eine gegebene natürliche Zahl und x₁, x₂, x₃, ... die Folge mit x_n = n / (n + a).
Man beweise, daß sich für jedes n aus N das Folgenglied x_n als Produkt zweier Glieder dieser Folge darstellen läßt, und bestimme die Anzahl der Darstellungen in Abhängigkeit von n und a.

Aufgabe 3:

Die Punkte S auf der Seite AB, T auf der Seite BC und U auf der Seite CA eines Dreiecks liegen so, daß folgendes gilt:
|AS| : |SB| = 1 : 2, |BT| : |TC| = 2 : 3 und |CU| : |UA| = 3 : 1.
Man konstruiere das Dreieck ABC, wenn lediglich die Punkte S, T und U gegeben sind.

Aufgabe 4:

Die Folge a₁, a₂, a₃, ... ist definiert durch a₁ = 1, a_n+1 = (1/16) · (1 + 4a_n + Sqrt(1 + 24a_n)) (n Element von N).
Man bestimme und beweise eine Formel, mit der man zu jeder natürlichen Zahl n das Folgenglied an unmittelbar berechnen kann, ohne vorausgehende Folgenglieder bestimmen zu müssen.

Erläuterungen zu Aufgabe 1: Der Streckenzug P₁P₂P₃...P_n besteht aus den Strecken P₁P₂, P₂P₃, ... , P_n-1P_n.

Erläuterungen zu Aufgabe 2: Unter der Menge N der natürlichen Zahlen verstehen wir {1, 2, 3, 4, ...}. Zur Angabe der Darstellungszahl kann die Teilerfunktion d benutzt werden; dabei gibt d(m) für m aus N die Anzahl der Teiler von m an.

Erläuterungen zu Aufgabe 3: Verlangt ist eine Konsturktionsbeschreibung mit Zeichnung, sowie ein Beweis für die Richtigkeit der Konstruktion.

Aufgabe 1:

Die Kanten eines Würfels werden von 1 bis 12 durchnumeriert; dann wird für jede Ecke die Summe der Nummern der von ihr ausgehenden Kanten bestimmt.
a) Man zeige, daß diese Summen nicht alle gleich sein können.
b) Können sich acht gleiche Summen ergeben, nachdem eine der Kantennummern durch die Zahl 13 ersetzt worden ist?

Aufgabe 2:

Ein Dreieck habe die Seiten a, b, c, den Inkreisradius r und die Ankreisradien r_a, r_b, r_c. Man beweise:
a) Das Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn gilt: r + r_a + r_b + r_c = a + b + c.
b) Das Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn gilt: r² + r_a² + r_b² + r_c² = a² + b² + c².

Aufgabe 3:

Es sei d_n die letzte von 0 verschiedene Ziffer der Dezimaldarstellung von n!. Man zeige, daß die Folge d₁, d₂, d₃, ... nicht periodisch ist.

Aufgabe 4:

Gegeben seien die endliche Menge M mit m Elementen und 1986 weitere Mengen M₁, M₂, M₃, ..., M₁₉₈₆, von denen jede mehr als m/2 Elemente aus M enthält.
Man zeige, daß nicht mehr als zehn Elemente von M markiert werden müssen, damit jede Menge m_i (i = 1, 2, ..., 1986) mindestens ein markiertes Element enthält.

Aufgabe 1:

Es sei p eine Primzahl größer als 3 und n eine natürliche Zahl; außerdem habe pⁿ in der Dezimalschreibweise 20 Stellen. Man zeige, daß hierin mindestens eine Ziffer mehr als zweimal vorkommt.

Aufgabe 2:

Es sei n eine natürliche Zahl und M_n = {1, 2, 3, ... , n}. Eine Teilmenge T von M_n heiße fett, wenn kein Element von T kleiner ist, als die Anzahl der Elemente von T. Die Anzahl der fetten Teilmengen von M_n werde mit f(n) bezeichnet.
Man entwickle ein Verfahren, mit dem sich f(n) für jedes n bestimmen läßt, und berechne damit f(32).

Aufgabe 3:

Gegeben sei ein konvexes Vieleck mit mindestens drei Ecken. Durch je drei aufeinanderfolgende Ecken wird jeweils ein Kreis gelegt. Man beweise, daß mindestens eine der dadurch entstandenen Kreisscheiben das Vieleck ganz überdeckt.

Aufgabe 4:

Vorgegeben seien n³ Einheitswürfel (n > 1), die von 1 bis n³ durchnumeriert sind. Alle diese Einheitswürfel werden zu einem Würfel der Kantenlänge n zusammengesetzt. In diesem Würfel heißen zwei Einheitswürfel benachbart, wenn sie mindestens eine Ecke gemeinsam haben. Als Abstand zweier benachbarter Einheitswürfel wird der Absolutbetrag der Differenz ihrer Nummer definiert. Man denke sich für jede mögliche Zusammensetzung des großen Würfels den größten auftretenden Abstand benachbarter Einheitswürfel auf eine Tafel geschrieben. Was ist die kleinste Zahl die auf dieser Tafel notiert wird? (Beweis!)

Erläuterungen zu Aufgabe 3: Ein Vieleck heißt konvex, wenn seine Innenwinkel alle kleiner als 180° sind.

Erläuterungen zu Aufgabe 4: Ein Einheitswürfel ist ein Würfel mit der Kantenlänge 1.

Aufgabe 1:

Man bestimme alle Tripel (x, y, z) ganzer Zahlen, für die gilt:
2^x + 3^y = z²

Aufgabe 2:

Jede Kante eines konvexen Vielflachs ist mit einer Richtung versehen und darf nur in dieser Richtung durchlaufen werden. Dabei gibt es zu jeder Ecke mindestens eine Kante, die zu ihr hinführt, und mindestens eine Kante, die von ihr wegführt.
Man zeige, daß dann das Vielflach mindestens zwei Seitenflächen hat, die jeweils auf ihrem Rand umlaufen werden können.

Aufgabe 3:

Gegeben sind 2 Folgen natürlicher Zahlen (a₁, a₂, a₃, ...) und (b₁, b₂, b₃, ...) mit
a_n+1 = n · a_n + 1 und b_n+1 = n · b_n - 1
für jedes n Element von {1, 2, 3, ...}.
Man zeige, daß es höchstens endlich viele Zahlen gibt, die beiden Folgen angehören.

Aufgabe 4:

Es seien k und n natürliche Zahlen mit 1 < k <= n;
x₁, x₂, x₃, ..., x_k seien k positive Zahlen, deren Summe gleich ihrem Produkt ist.
a) Man zeige: x₁^n-1 + x₂^n-1 + ... + x_k^n-1 >= kn
b) Welche zusätzlichen Bedingungen für k, n und x₁, x₂, ..., x_k sind notwendig und hinreichend dafür, daß
x₁^n-1 + x₂^n-1 + ... + x_k^n-1 = kn gilt?

Aufgabe 1:

Ein Quadrat sei schachbrettartig in n⁴ Felder eingeteilt. Auf diese Felder werden n³ Spielsteine gestellt, auf jedes höchstens einer. Dabei stehen in jeder Zeile gleich viele Steine. Außerdem ist die gesamte Aufstellung symmetrisch zu einer der Diagonalen des Quadrats; diese Diagonale heiße d.
Man beweise:
a) Ist n ungerade, dann steht auf d mindestens ein Stein.
b) Ist n gerade, dann gibt es eine Aufstellung der beschriebenen Art, bei der kein Stein auf d steht.

Aufgabe 2:

In einem Dreieck seien die Höhen mit h_a, h_b, h_c, der Inkreisradius mit r bezeichnet.
Man beweise, daß das Dreieck dann und nur dann gleichseitig ist, wenn h_a + h_b + h_c = 9r ist.

Aufgabe 3:

Man beweise, daß jedes Achteck mit lauter rationalen Seitenlängen und lauter gleichen Innenwinkeln punktsymmetrisch ist.

Aufgabe 4:

Ausgehende von vier vorgegebenen ganzen Zahlen a₁, b₁, c₁, d₁ definiert man rekursiv für alle n Element von N:
a_n+1 := | a_n - b_n |
b_n+1 := | b_n - c_n |
c_n+1 := | c_n - d_n |
d_n+1 := | d_n - a_n |
Man beweise, daß es eine natürliche Zahl k gibt, für die alle Folgenglieder a_k, b_k, c_k, d_k den Wert Null annehmen.

Aufgabe 1:

Für die natürlichen Zahlen x und y gelte 2x² + x = 3y² + y.
Man beweise, daß dann x-y, 2x+2y+1 und 3x+3y+1 Quadratzahlen sind.

Aufgabe 2:

Eine Kreislinie sei irgendwie durch 3k Punkte in je k Bögen der Längen 1, 2 und 3 aufgeteilt.
Man beweise, daß stets zwei dieser Punkte sich diametral gegenüberliegen.

Aufgabe 3:

Man beweise: Alle spitzwinkligen Dreiecke mit gleicher Höhe h_c und gleich großem Winkel gamma haben umfangsgleiche Höhenfußpunktdreiecke.

Aufgabe 4:

Gegeben ist die Gleichung xyz = pⁿ(x+y+z), wobei p eine Primzahl größer als 3 und n eine natürliche Zahl ist.
Man zeige, daß diese Gleichung mindestens 3n+3 verschiedene Lösungen (x,y,z) mit natürlichen Zahlen x, y, z und x < y < z besitzt.

Erläuterungen zu Aufgabe 1: Die Menge der natürlichen Zahlen ist N = {1, 2, 3, 4, ...}.

Erläuterungen zu Aufgabe 2: Der Umfang des betrachteten Kreises beträgt also 6k.

Erläuterungen zu Aufgabe 3: Die Größen h_c und gamma beziehen sich auf die Standardbezeichungen beim Dreieck. Es wird gebeten, die in der Skizze verwendeten Bezeichungen auch in der Lösung zu benutzen.

Aufgabe 1:

Es sei f(x) = xⁿ, wobei n eine natürliche Zahl ist. Kann dann die Dezimalzahl 0,f(1)f(2)f(3) ... rational sein?

Die Antwort ist zu begründen. (Beispiel: Für n=2 geht es um 0,1491625..., für n=3 ist die betrachtete Zahl 0,182764125... .)

Aufgabe 2:

Ein Trapez hat den Flächeninhalt 2m², seine Diagonalen sind zusammen 4m lang. Man bestimme die Höhe dieses Trapezes.

Aufgabe 3:

Man beweise: Wird ein ebenes konvexes Vieleck in endlich viele überschneidungsfreie Vierecke zerschnitten, so ist mindestens eines dieser Vierecke konvex.

Erläuterung: Eine ebene Figur heißt genau dann konvex, wenn sie mit je zwei ihrer Punkte stets auch deren gesamte Verbindungsstrecke enthält.

Aufgabe 4:

Es sei n eine ungerade natürliche Zahl. Man beweise:
Die Gleichung 4/n = 1/x + 1/y hat dann und nur dann eine Lösung (x,y) mit natürlichen Zahlen x, y, wenn n einen Teiler der Form 4k-1 besitzt (k Element von N).

Hinweis: Die Menge {1, 2, 3, 4, ...} der natürlichen Zahlen wird hier mit N bezeichnet.

Aufgabe 1:

Man gebe eine natürliche Zahl k und ein Polynom f(x) (f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_kx^k, a_k ungleich 0) mit folgenden Eigenschaften an:
(1) Die Koeffizienten a₀, a₁, a₂, ..., a_k sind Elemente von {-1, 0, 1}.
(2) Für jede natürliche Zahl n ist f(n) durch 30 teilbar.
(3) Kein Polynom kleineren Grades habt ebenfalls beide Eigenschaften (1) und (2).

Hinweis: Es ist nachzuweisen, daß das angegebene Polynom die Eigenschaften (1) bis (3) tatsächlich hat.

Aufgabe 2:

Man bestimme (mit Nachweis) alle Paare (a, b) reeller Zahlen, für welche die Ungleichung
| Sqrt(1-x²) - ax - b | <= ¹/₂ ( Sqrt(2) - 1 )
für alle x Element von [0, 1] gültig ist.

Aufgabe 3:

Auf jeder Seite eines Sehenvierecks S wird nach außen ein Rechteck errichtet, wobei die eine Rechteckseite mit der Seite von S übereinstimmt und die andere Rechteckseite genau so lang wie die jeweilige Gegenseite im Sehenviereck S ist. Man zeige, daß die Mittelpunkte dieser vier Rechtecke stets die Eckpunkte eines weiteren Rechtecks sind.

Aufgabe 4:

Jede Ecke eines regelmäßigen n-Ecks (n>=3) ist so mit einer natürlichen Zahl als "Eckenwert" versehen, daß jede dieser Zahlen ein Teiler der Summe seiner beiden Nachbarzahlen ist. Man betrachte zu je drei aufeinanderfolgenden Ecken mit den zugehörigen Eckenwerten a, b, c, den Quotienten (a + c) / b.
Es ist zu beweisen, daß der Mittelwert dieser n Quotienten nicht kleiner als 2, aber kleiner als 3 ist.