Aufgabe 1:

Es sei f(x) = x² + 2bx + c mit ganzen Zahlen b und c.
Man beweise: Gilt f(n) >= 0 für alle ganzen Zahlen n, so gilt f(x) >= 0 sogar für alle rationalen Zahlen x.

Aufgabe 2:

Von der Zahlenfolge a₀, a₁, a₂, ... ist bekannt:
a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 1 und a_n+2 + a_n-1 = 2 · (a_n+1 + a_n) für alle n Element von N.
Es ist zu beweisen, daß alle Glieder dieser Folge Quadratzahlen sind.

Aufgabe 3:

Zwischen zwanzig Städten bestehen 172 direkte Flugverbindungen, die jeweils in beiden Richtungen benutzbar sind. Keine zwei von ihnen verbinden dieselben beiden Städte.
Man weise nach, daß man von jeder Stadt in jede andere fliegen kann, ohne dabei mehr als einmal umzusteigen.

Aufgabe 4:

In einem Tetraeder sei jede Kante senkrecht zu ihrer Gegenkante.
Man beweise, daß es eine Kugel gibt, auf der die Mittelpunkte aller sechs Kanten liegen.

Erläuterung: Zwei Strecken heißen AB und CD heißen senkrecht zueinander, genau dann, wenn die durch A gezogene Parallele zu CD senkrecht auf AB steht.

Aufgabe 1:

Gesucht werden drei natürliche Zahlen a, b, c bei denen das Produkt von je zweien bei Division durch die dritte den Rest 1 läßt.
Man bestimme alle Lösungen.

Aufgabe 2:

Es bezeichne A(n) die kleinste Anzahl verschiedener Punkte der Ebene mit folgender Eigenschaft: Für jedes k Element von {1, 2, ... , n} existiert mindestens eine Gerade, die genau k dieser Punkte enthält.
Man beweise: A(n) = [ (n+1) / 2 ] · [ (n+2) / 2 ].

Aufgabe 3:

Gegeben sind fünf nichtnegative Zahlen mit der Summe 1. Man beweise, daß man diese Zahlen so im Kreis anordnen kann, daß die Summe der fünf Produkte je zweier benachbarter Zahlen höchstens 1/5 beträgt.

Aufgabe 4:

In der Ebene liegt ein Wurm der Länge 1. Man beweise, daß man ihn stets mit einer Halbkreisscheibe vom Durchmesser 1 zudecken kann.

Erläuterung zu Aufgabe 1: Zur Lösung der Aufgabe gehört nicht nur die Angabe (und Bestätigung) der Lösungen, es muß auch nachgewiesen werden, daß es keine weiteren Lösungen geben kann.

Erläuterung zu Aufgabe 2:: Für jede reelle Zahl x bezeichnet [x] die größte ganze Zahl, die nicht größer als x ist.

Erläuterung zu Aufgabe 3: Bei der hier dargestellten Anordnung ist z.B. die Summe a₁ · a₂ + a₂ · a₃ + a₃ · a₄ + a₄ · a₅ + a₅ · a₁ zu betrachten.

Erläuterung zu Aufgabe 4: Unter dem "Wurm" wird ein zusammenhängendes Kurvenstück verstanden. Die Halbkreisscheibe soll auch ihre Randpunkte enthalten.

Aufgabe 1:

Gegeben sind 1991 paarweise verschiedene positive reelle Zahlen, wobei das Produkt von irgend zehn dieser Zahlen stets größer als 1 ist. Man beweise, daß das Produkt aller 1991 Zahlen ebenfalls größer als 1 ist.

Aufgabe 2:

Es sei g eine gerade natürliche Zahl und f(n) = gⁿ + 1 (n Element von N).
Man beweise, daß für jedes n (Element von N) gilt:
a) f(n) ist Teiler von jeder der Zahlen f(3n), f(5n), f(7n), ... ;
b) f(n) ist teilerfremd zu jeder der Zahlen f(2n), f(4n), f(6n), ... .

Anmerkung: Mit der Menge N der natürlichen Zahlen ist die Menge {1, 2, 3, ...} gemeint.

Aufgabe 3:

In einer Ebene mit quadratischem Gitter, bei dem die Seitenlänge des Grundquadrats 1 ist, liegt ein rechtwinkliges Dreieck. Alle seine Eckpunkte sind Gitterpunkte und alle Seitenlängen sind ganzzahlig.
Man beweise, daß auch der Inkreismittelpunkt des Dreiecks ein Gitterpunkt ist.

Aufgabe 4:

Ein Streifen der Breite 1 soll durch rechteckige Platten mit der gemeinsamen Breite 1 und den Längen a₁, a₂, a₃, ... lückenlos gepflastert werden (a₁ ungleich 1). Von der zweiten Platte an ist jede Platte ähnlich, aber nicht kongruent zu dem schon gepflasterten Teil des Streifens. Nach Auflegen der ersten n Platten habe der gepflasterte Teil des Streifens die Länge s_n.
Gibt es - bei vorgegebenem a₁ - eine Zahl, die von keinem s_n übertroffen wird? Die Richtigkeit der Antwort ist zu beweisen.

Aufgabe 1:

Man bestimme alle Lösungen der Gleichung 4^x + 4^y + 4^z = u² mit ganzen Zahlen x, y, z, u.

Aufgabe 2:

Im Raum seien acht Punkte so gegeben, daß keine vier in einer Ebene liegen. Von allen Verbindungsstrecken dieser Punkte werden 17 blau gefärbt, die übrigen rot.
Man beweise, daß hierbei stets mindestens 4 blaue Dreiecke entstehen.
Man beweise, daß in obiger Behauptung "vier" nicht durch "fünf" ersetzt werden darf.

Erläuterung: Mit blauen Dreiecken sind solche gemeint, bei denen alle drei Seiten blau gefärbt sind.

Aufgabe 3:

Eine Menge M von Punkten der Ebene heiße genau dann stumpf, wenn je drei Punkte aus M stets die Ecken eines stumpfwinkligen Dreiecks sind.
a) Man beweise die Richtigkeit der Aussage: Zu jeder endlichen stumpfen Menge M gibt es einen Ebenenpunkt P mit folgender Eigenschaft: P ist kein Element von M und M vereinigt mit {P} ist ebenfalls stumpf.
b) Man entscheide (mit Nachweis), ob die in a) formulierte Aussage richtig bleibt, wenn man dort "endlich" durch "unendlich" ersetzt.

Aufgabe 4:

Gegeben seien zwei nicht-negative ganze Zahlen a und b, von denen die eine gerade, die andere ungerade ist. Durch die Vorschrift
a₀ := a, a₁ := b, a_n+1 := 2a_n - a_n-1 + 2 für n = 1, 2, 3, ...,
b₀ := b, b₁ := a, b_n+1 := 2b_n - b_n-1 + 2 für n = 1, 2, 3, ...
werden zwei Folgen (a(n)) und (b(n)) definiert.
Man beweise, daß genau dann keine der beiden Folgen ein negatives Glied enthält, wenn |SQRT(a) - SQRT(b)| <= 1 gilt.
Die Lösung besteht aus 2 Teilen
a) Bestimmung der expliziten Form der allgemeinen Folgenglieder a_n und b_n.
b) Nachweis der Behauptung

Aufgabe 1:

Auf dem Tisch stehen zwei Schalen, in der einen liegen p, in der anderen q Spielsteine (p, q Element von N). Zwei Spieler A und B ziehen abwechselnd, wobei A beginnt. Wer am Zug ist, nimmt aus einer der Schalen einen Stein weg oder nimmt aus beiden Schalen je einen Stein weg oder legt einen Stein aus einer der Schalen in die andere. Gewonnen hat, wer den letzten Stein wegnimmt.
Unter welchen Bedingungen kann A, unter welchen Bedingungen kann B den Gewinn erzwingen? Die Antwort ist zu begründen.

Aufgabe 2:

Eine natürliche Zahl n heisst genau dann gut, wenn sie sich auf eine und nur eine Weise als Summe mindestens zweier natürlicher Zahlen darstellen läßt, deren Produkt ebenfalls den Wert n hat; hierbei werden Darstellungen, die sich nur durch die Reihenfolge der Summanden unterscheiden, als gleich angesehen.
Man bestimme alle guten natürlichen Zahlen.

Aufgabe 3:

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a,b,c. Drei Kugeln berühren sich paarweise und berühren außerdem die Ebene des Dreiecks in den Punkten A, B bzw. C.
Man bestimme die Radien dieser Kugeln.

Aufgabe 4:

Eine endliche Menge {a₁, a₂, a₃, ... , a_k} natürlicher Zahlen mit a₁ < a₂ < a₃ < ... < a_k heißt genau dann alternierend, wenn i + a_i fuer i = 1, 2, 3, ... , k gerade ist. Auch die leere Menge gelte als alternierend. Die Anzahl der alternierenden Teilmengen von {1, 2, 3, ... , n} wird mit A(n) bezeichnet.
Man entwickle ein Verfahen, mit dem sich A(n) fuer jedes n Element von N bestimmen laesst, und berechne damit A(33).

Aufgabe 1:

Unter der Standarddarstellung einer positiven ganzen Zahl n wird nachfolgend die Darstellung von n im Dezimalsystem verstanden, bei der die erste Ziffer verschieden von 0 ist. Jeder positiven ganzen Zahl n wird nun eine Zahl f(n) zugeordnet, indem in der Standarddarstellung von n die letzte Ziffer vor die erste gestellt wird. Beipiele: f(1992) = 2199, f(2000) = 200.
Man bestimme die kleinste positive Zahl n, für die f(n) = 2n gilt.

Aufgabe 2:

Es werden alle n-stelligen Wörter aus dem Ziffern-Alphabet {0;1} betrachtet.
Diese 2n Wörter sollen so in einer Folge w₀, w₁, w₂, ... , w_(2^n)-1 angeordnet werden, daß w_m aus w_m-1 durch Ändern einer einzigen Ziffer entsteht (m = 1, 2, 3, ... , 2n - 1).
Man weise nach, dass der folgende Algorithmus dies leistet:
1. Starte mit w₀ = 000....00.
2. Es sei w_m-1 = a₁a₂a₃...a_n mit a_i Element von {0;1}, i = 1, 2, 3, ... , n. Bestimme den Exponenten e(m) der höchsten Zweierpotenz, die m teilt, und setze j = e(m)+1. Ersetze in w_m-1 die Ziffer a_j durch 1-a_j; so entsteht w_m.

Aufgabe 3:

Gegeben ist ein konvexes, gleichseitiges Fünfeck. Über den Seiten dieses Fünfecks werden nach innen gleichseitige Dreiecke errichtet. Man beweise, dass mindestens eins dieser Dreiecke nicht über den Rand des Fuenfecks hinausragt.

Aufgabe 4:

Für drei Zahlenfolgen (xn), (yn), (zn) mit positiven Anfangsgliedern x₁, y₁, z₁ gelte
x_n+1 = y_n + 1/z_n,
y_n+1 = z_n + 1/x_n,
z_n+1 = x_n + 1/y_n. (n = 1,2,3,...).
Man beweise:
a) Keine der drei Folgen ist nach oben beschränkt.
b) Mindestens eine der Zahlen x₂₀₀, y₂₀₀, z₂₀₀ ist größer als 20.

Erläuterung zu Aufgabe 1: Zur Lösung gehört nicht nur die Angabe der gesuchten Zahl n, es muß auch nachgewiesen werden, daß diese die verlangten Eigenschaften hat.

Erläuterung zu Aufgabe 3: Eine Figur heisst konvex, wenn für beliebige Punkte P, Q der Figur stets alle Punkte der Strecke PQ zur Figur gehören.

Aufgabe 1:

Alle natürlichen Zahlen außer 1 und 2 können als Summe von paarweise verschiedenen Summanden dargestellt werden. Für jede natürliche Zahl n (n>=3) wird bei allen derartigen Darstellungen von n die Anzahl der Summanden gezählt, und die größte vorkommende Anzahl mit A(n) bezeichnet. Man ermittle A(n).

Aufgabe 2:

Von einer Menge M aus endlich vielen Punkten der Ebene sei bekannt:
Für je zwei verschiedene Punkte A, B aus M gibt es stets einen Punkt C aus M, so daß das Dreieck ABC gleichseitig ist.
Man bestimme die größtmögliche Anzahl von Punkten einer solchen Menge M.

Aufgabe 3:

Es gibt Paare von Quadratzahlen mit folgenden beiden Eigenschaften:
(1) Ihre Dezimaldarstellungen haben die gleiche Ziffernanzahl, wobei die erste Ziffer jeweils von 0 verschieden ist.
(2) Hängt man an die Dezimaldarstellung der ersten die der zweiten an, so entsteht die Dezimaldarstellung einer weiteren Quadratzahl.
Beispiel: 16 und 81, 1681=41².
Man beweise, daß es unendlich viele Paare von Quadratzahlen mit diesen Eigenschaften gibt.

Aufgabe 4:

Gegeben sei ein Dreieck ABC mit dem Flächeninhalt F und den Seitenlängen a, b, c (a=|BC|, b=|CA|, c=|AB|). Die Seite AB wird über A hinaus um a und über Bhinaus um b verlängert. Entsprechend wird BC über B bzw. C hinaus um b bzw. c verlängert. Schließlich wird CA über C bzw. A hinaus um c bzw. a verlängert.
Die äußeren Endpunkte der Verlängerungsstrecken bilden die Eckpunkte eines Sechsecks mit dem Flächeninhalt G.
Man beweise: G : F>=13.

Hinweise:

1. Zahlen heißen paarweise verschieden, wenn keine zwei von ihnen gleich sind.
2. Auch zur Lösung der Aufgaben 1 und 2 genügt nicht nur die Angabe der Ergebnisse, es muß ebenfalls nachgewiesen werden, daß diese die verlangten Eigenschaften haben.
3. Mit der Menge der nätürlichen Zahlen ist {1, 2, 3, ...} gemeint.

Aufgabe 1:

In einem regulären Neuneck sei jede Ecke entweder rot oder grün gefärbt. Je drei Ecken des Neunecks bestimmen ein Dreieck. Ein solches Dreieck heiße "rot" bzw. "grün", wenn seine Ecken alle rot bzw. grün sind.
Man beweise, daß es bei jeder derartigen Färbung des Neunecks mindestens zwei verschiedene kongruente Dreiecke gleicher Farbe gibt.

Aufgabe 2:

Für die reelle Zahl a gelte, daß es genau ein Quadrat gibt, dessen Ecken alle auf der Kurve mit der Gleichung y = x³ + ax liegen.
Man bestimme die Seitenlänge dieses Quadrats.

Aufgabe 3:

Gegeben sei ein Dreieck ABC. Ferner sei A' der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden w_alpha mit der Mittelsenkrechten m(AB), B' der Schnittpunkt von w_beta mit m(BC), C' der Schnittpunkt von w_gamma mit m(CA).
Man beweise:
1. Das Dreieck ABC ist genau dann gleichseitig, wenn A' und B' zusammenfallen.
2. Wenn die Punkte A', B', C' verschieden sind gilt Winkel(B'A'C') = 90° - 1/2 * Winkel(BAC)

Aufgabe 4:

Gibt es eine natürliche Zahl, bei der die Dezimaldarstellung von n! mit 1993 beginnt?

Aufgabe 1:

Gegeben seien elf reelle Zahlen. Man beweise, daß immer mindestens zwei von ihnen Dezimaldarstellungen haben, die an unendlich vielen Nachkommastellen übereinstimmen.
Beispiele von Dezimaldarstellungen:
1:4 = 0,250 000 000 ..., 1:3 = 0,333 333 333 ..., SQRT(2) = 1,414 213 562 ...

Hinweis: Mit der Menge der nätürlichen Zahlen ist {1, 2, 3, ...} gemeint.

Aufgabe 2:

Anna und Bernd spielen nach folgender Regel: Beide schreiben auf je einen Zettel eine natürliche Zahl und geben ihren Zettel gefaltet dem Schiedsrichter. Dieser schreibt auf eine für Anna und Bernd sichtbare Tafel zwei natürliche Zahlen, von denen die eine beliebig, die andere aber die Summe der Zahlen auf den Zetteln ist. Danach fragt der Schiedsrichter Anna, ob sie die Zahl von Bernd nennen kann. Wenn Anna verneint, richtet er an Bernd die entsprechende Frage. Wenn Bernd verneint, geht die Frage wieder an Anna, usw.
Es wird vorausgesetzt, daß Anna und Bernd beide intelligent und ehrlich sind. Man beweise, daß nach endlich vielen Fragen die Antwort JA gegeben wird.

Aufgabe 3:

Gegeben sei das Dreieck A₁A₂A₃ und ein Punkt P in seinem Inneren. Für i = 1, 2, 3 sei B_i ein beliebiger Punkt auf der Gegenseite von A_i; ferner seien C_i und D_i die Mittelpunkte der Strecken A_iB_i bzw. PB_i.
Man beweise, daß die Dreiecke C₁C₂C₃ und D₁D₂D₃ den gleichen Flächeninhalt haben.

Aufgabe 4:

Mit den reellen Zahlen a und b (b ist nicht 0) wird die unendliche arithmetische Folge a, a+b, a+2b, a+3b, ... gebildet.
Man beweise, daß diese Folge dann und nur dann eine unendliche geometrische Teilfolge enthält, wenn a:b eine rationale Zahl ist.

Aufgabe 1:

Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen n mit der folgenden Eigenschaft: Jede natürliche Zahl, deren Dezimaldarstellung aus n Ziffern besteht, und zwar genau einer Sieben und n-1 Einsen, ist eine Primzahl.

Aufgabe 2:

Es sei k eine beliebige ganze Zahl. Eine Zahlenfolge a₀, a₁, a₂ ... wird definiert durch a₀ := 0, a₁ := k und a_n+2 := k² · a_n+1 - a_n für n = 0, 1, 2 ... .
Man beweise: für jedes n ist a_n+1 · a_n + 1 ein Teiler von a_n+1² + a_n².

Aufgabe 3:

Es seien A und B zwei verschieden große Kugeln, die sich von außen berühren. Sie befinden sich im Innern eines Kegels K, wobei jede der Kugeln den Kegel in einem Kreis berührt. Im Innern von K liegen m weitere, untereinander kongruente Kugeln (m>=3); sie sind ringförmig so angeordnet, daß jede von ihnen den Kegel K, die Kugeln A und B sowie ihre beiden Nachbarkugeln berührt.
Man beweise, daß dies für höchstens drei Werte von m möglich ist.

Aufgabe 4:

Es sei M eine Menge von n Punkten im Raum. (n>=3). Die Verbindungsstrecken dieser Punkte seien alle verschieden lang, un r dieser Strecken seien rot gefärbt. Weiter sei m die kleinste ganze Zahl, für die m >= 2 · r/n gilt. Man beweise, daß es dann stets einen Streckenzug aus m roten Strecken gibt, die nach wachsender Länge angeordnet sind.

Aufgabe 1:

Ein Spiel startet mit zwei Haufen von p und q Steinen. Zwei Spieler A und B ziehen abwechselnd, wobei A beginnt. Wer am Zug ist, muß einen Haufen wegnehmen und den anderen in zwei Haufen zerlegen. Verloren hat, wer als erster keinen vollständigen Zug mehr ausführen kann. Bei welchen Werten von p und q kann A den Gewinn erzwingen, bei welchen nicht?

Aufgabe 2:

In der Ebene liegen eine Gerade g und ein Punkt A außerhalb von g. Der Punkt P durchlaufe g. Man bestimme alle Punkte X der Ebene, die zusammen mit A und P die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks bilden.

Aufgabe 3:

Eine natürliche Zahl n heißt zerbrechlich, wenn es positive ganze Zahlen a,b,x,y gibt, für die a+b=n und (x/a) + (y/b) = 1 gilt. Man bestimme die Menge aller zerbrechlichen Zahlen.

Aufgabe 4:

In einem Quadrat mit der Seitenlänge 100 befinden sich Kreisscheiben vom Radius 1. Sie liegen so, daß die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
1. Keine zwei der Kreisscheiben haben gemeinsame innere Punkte.
2. Jede Strecke der Länge 10, die ganz in dem Quadrat liegt, trifft mindestens eine Scheibe.
Man beweise, daß dann in dem Quadrat mindestens 400 Scheiben liegen.

Aufgabe 1:

Ein Spielstein steht zunächst auf dem Punkt (1,1) der Koordinatenebene und kann nach den folgenden Regeln auf den Punkten der Ebene bewegt werden:
(R1) Steht der Stein auf (a,b) darf er nach (2a,b) oder nach (a,2b) gehen.
(R2) Steht der Stein auf (a,b) darf er im Fall "a>b" nach (a-b,b) gehen und im Fall "b>a" nach (a,b-a) gehen.
Welche Beziehung zwischen den Zahlen x und y sind notwendig und hinreichend dafür, daß der Stein irgendwann auf dem Punkt (x,y) stehen kann?

Aufgabe 2:

Auf einer Strecke der Länge 1 sind endlich viele, paarweise disjunkte Teilstrecken gefärbt. Der Abstand zweier gefärbter Punkte beträgt nie genau 1/10. Man beweise, daß die Gesamtlänge der gefärbten Teilstrecken nicht größer als 1/2 ist.

Aufgabe 3:

Jede Diagonale eines konvexen Fünfecks sei parallel zu einer Seite. Man beweise, daß das Verhältnis einer Diagonale zur entsprechenden Seite in allen fünf Fällen den gleichen Wert hat und berechne diesen Wert.

Aufgabe 4:

Man beweise, daß jede natürliche Zahl k (k>1) ein Vielfaches besitzt, das kleiner als k⁴ ist und im Zehnersystem mit höchstens 4 verschiedenen Ziffern geschrieben werden kann.

Aufgabe 1:

Kann man ein Quadrat der Seitenlänge 5 cm vollständig mit drei Quadraten der Seitenlänge 4 cm überdecken? (Beweis!)

Aufgabe 2:

Auf einem n x n-Schachbrett sind die Felder so numeriert wie in dem abgebildeten Beispiel für n = 5.

01	02	03	04	05
06	07	08	09	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20
21	22	23	24	25

Es werden n Felder derart ausgewählt, daß aus jeder Zeile und aus jeder Spalte genau ein Feld vorkommt. Anschließend werden die Nummern dieser Felder addiert.
Welche Werte für die Summe sind hierbei möglich? (Beweis!)

Aufgabe 3:

In einer Ebene liegen vier Geraden so, daß je drei von ihnen ein Dreieck bestimmen; eine dieser Geraden sei parallel zu einer der Seitenhalbierenden des von den drei anderen Geraden bestimmten Dreiecks. Man beweise, daß dann auch jede der drei anderen Geraden diese Eigenschaft hat.

Aufgabe 4:

Man bestimme die Menge aller positiven ganzen Zahlen n, für die n*2^n-1+1 eine Quadratzahl ist.

Hinweis: Zur Lösung gehört nicht nur die Angabe der gesuchten Menge, sondern auch der Beweis, daß diese die Bedingungen der Aufgabe erfüllt.

Aufgabe 1:

Eine Menge von Punkten des Raumes wird schrittweise erweitert, indem man jeweils einen ihrer Punkte an einem anderen ihrer Punkte spiegelt und den erhaltenen Bildpunkt der Menge hinzufügt. Kann man auf diese Weise, ausgehend von der Menge von sieben Eckpunkten eines Würfels, nach endlich vielen Schritten dieser Menge die achte Ecke des Würfels hinzufügen?

Aufgabe 2:

Die Folge z₀, z₁, z₂, ... wird rekursiv definiert durch
z₀:=0;
z_n:=z_n-1 + ( 3^r -1 ) / 2, wenn n = 3^r - 1 * ( 3k + 1 ) für geeignete Zahlen r,k;
z_n:=z_n-1 - ( 3^r + 1 ) / 2, wenn n = 3^r - 1 * ( 3k + 2 ) für geeignete Zahlen r,k.
Man beweise: In dieser Folge tritt jede ganze Zahl genau einmal auf.

Aufgabe 3:

Auf den Seiten eines Dreiecks ABC sind nach außen Rechtecke ABB₁A₁, BCC₁B₂, CAA₂C₂ errichtet. Man beweise, daß sich die Mittelsenkrechten der Strecken A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ in einem gemeinsamen Punkt schneiden.

Aufgabe 4:

Es sei p eine ungerade Primzahl. Man bestimme diejenigen positiven ganzen Zahlen x,y (x<=y), für welche SQRT(2p)-SQRT(x)-SQRT(y) nicht-negativ und möglichst klein ist.

Aufgabe 1:

Kann man aus 100 beliebig gegebenen ganzen Zahlen stets 15 Zahlen derart auswählen, daß die Differenz zweier beliebiger dieser 15 Zahlen durch 7 teilbar ist? Wie lautet die Antwort, wenn 15 durch 16 ersetzt wird? (Beweis!)

Aufgabe 2:

Man bestimme (mit Beweis) alle Primzahlen p, für die das Gleichungssystem
p + 1 = 2x²
p² + 1 = 2y²
Lösungen mit ganzen Zahlen x,y besitzt.

Aufgabe 3:

Jedem spitzwinkligen Dreieck ABC läßt sich ein Quadrat Q_a so einbeschreiben, daß zwei seiner Ecken auf der Seite BC und die anderen Ecken auf den Seiten AC und AB liegen. Entsprechend kann man die Quadrate Q_b und Q_c einschreiben.
Man bestimme mit Beweis alle Dreiecke ABC, für die Q_a, Q_b und Q_c gleiche Seitenlängen haben.

Aufgabe 4:

In einem Park wachsen 10.000 Bäume in 100 Reihen mit je 100 Bäumen (im Quadratgitter angeordnet). Wie viele Bäume kann man höchstens schlagen, wenn folgende Bedingung erfüllt sein soll:
Wenn man sich auf irgendeinen Baumstumpf setzt, so sieht man von ihm aus keinen weiteren Baumstumpf.
Die gesuchte Maximalzahl ist durch allgemeine Überlegungen zu ermitteln und als richtig nachzuweisen. Die Angabe eines Computerprogramms bzw. seiner Resultate ist in diesem Sinne keine ausreichende Begründung.

Aufgabe 1:

Ein regelmäßiges Tetraeder mit einer schwarzen und drei weißen Flächen steht mit seiner schwarzen Fläche auf einer Ebene. Es wird mehrmals über je eine seiner Kanten gekippt. Schließlich nimmt es wieder den ursprünglichen Platz in der Ebene ein.
Kann es dann auf einer seiner weißen Flächen stehen? (Beweis!)

Aufgabe 2:

Man beweise: Für jede rationale Zahl a hat die Gleichung y = SQRT(x² + a) unendlich viele Lösungen (x,y) mit rationalen Zahlen x und y.

Aufgabe 3:

Eine Halbkreisfläche mit dem Durchmesser AB (AB = 2r) sei durch einen Radius in zwei Kreissektoren zerlegt; jedem dieser Sektoren sei ein Kreis einbeschrieben.
Man beweise: Sind S und T die Berührunkte dieser Kreise mit AB, so gilt ST >= 2r · (SQRT(2) - 1).

Aufgabe 4:

Es sei n eine natürliche Zahl.
Man beweise: Sind 3n + 1 und 4n + 1 Quadratzahlen, dann ist n durch 56 teilbar.

Aufgabe 1:

Ein Spielfeld hat die rechts dargestellte Form. Zwei Spieler A und B tragen abwechselnd in eines der jeweils noch freien Kästchen eine ganze Zahl ein, wobei A beginnt. Bei jeder Eintragung können Kästchen und Zahl beliebig gewählt werden.
Man beweise: Der Spieler A kann durch geschicktes Spiel stets erreichen, daß nach der Eintragung in das letzte noch freie Kästchen alle entstandenen Gleichungen erfüllt sind.

Hinweis: Die Größe der Kästchen stellt keine Einschränkung für die Anzahl der Stellen bei der jeweils einzutragenden Zahl dar.

Aufgabe 2:

Man beweise, daß es eine unendliche Folge von Quadratzahlen mit folgenden Eigenschaften gibt:
1. Das arithmetische Mittel je zweier benachbarter Folgeglieder ist eine Quadratzahl.
2. Je zwei benachbarte Folgeglieder sind teilerfremd.
3. Die Folge wächst streng monoton.

Aufgabe 3:

Über die Seiten BC und CA eines beliebigen Dreiecks ABC werden nach außen Quadrate errichtet. Der Mittelpunkt der Seite AB sei M, die Mittelpunkte der beiden Quadrate seien P und Q.
Man beweise, daß das Dreieck MPQ gleichschenklig-rechtwinklig ist.

Aufgabe 4:

Man beweise: Für jede natürliche Zahl n ist die Zahl n + [ (SQRT(2)+1)ⁿ ] ungerade.
Dabei bezeichnet [x] für jede reelle Zahl x die größte ganze Zahl, die höchstens so groß ist wie x. Zum Beispiel ist [ SQRT(2)+1 ] = 2, [1] = 1.

Aufgabe 1:

Man bestimme alle Tripel (x,y,z) ganzer Zahlen, die Lösungen der Gleichung xy + yz + zx - xyz = 2 sind.

Aufgabe 2:

Es sei M = {1, 2, 3, ..., 10000}. Man beweise, daß man 16 Teilmengen von M mit folgender Eigenschaft finden kann: Für jede Zahl z aus M gibt es acht dieser Teilmengen, deren Schnittmenge {z} ist.

Aufgabe 3:

Gegeben sei ein Dreieck ABC und ein Punkt P auf der Seite AB mit folgenden Eigenschaften:

1. |BC| = |AC| + 1/2 · |AB|
2. |AP| = 3 · |PB|

Aufgabe 4:

Im Inneren eines konvexen Polyeders P mit dem Rauminhalt 2ⁿ seien 3 · (2ⁿ - 1) Punkte gewählt (n Element von N).
Man beweise, daß P ein konvexes Polyeder mit dem Rauminhalt 1 enthält, in dessen Innerem keiner der gewählten Punkte liegt.

Hinweis: Auch in der ersten Aufgabe ist nicht nur ein Ergebnis anzugeben, sondern auch der Beweis für die Richtigkeit zu führen.

Aufgabe 1:

Auf 100 Affen werden 1600 Kokusnüsse verteilt, wobei einige Affen auch leer ausgehen können.
Man beweise, dass es - ganz gleich, wie die Verteilung erfolgt - stets mindestens vier Affen mit derselben Anzahl von Kokusnüssen gibt.

Aufgabe 2:

Zwei Zahlenfolgen a₁, a₂, a₃, ... und b₁, b₂, b₃, ... werden definiert durch
a₁ = b₁ = 1
a_n+1 = a_n + b_n
b_n+1 = a_n * b_n (n = 1, 2, 3, ...).
Man beweise, dass die Glieder der ersten Folge paarweise teilerfremd sind.

Begriffserklärung: Die Zahlen a₁, a₂, a₃, ... heißen paarweise teilerfremd, wenn für je zwei verschiedene Indizes i, j die Zahlen a_i und a_j den größten gemeinsamen Teiler 1 haben.

Aufgabe 3:

In einer Ebene werden auf dem geraden Streckenzug ABC über AB, BC und CA als Grundseiten die positiv orientierten gleichschenkligen Dreiecke ABS₁, BCS₂ und CAS₃ mit den Basiswinkeln 30° errichtet.
Man beweise: Das Dreieck S₃S₂S₁ ist gleichseitig.

Aufgabe 4:

Es gibt konvexe Polyeder mit mehr Seitenflächen als Ecken. Was ist die kleinste Anzahl von dreieckigen Seitenflächen, die ein solches Polyeder haben kann? (Beweis!)

Begriffserklärung: Ein Körper heißt konvex, wenn er zusammen mit je zweien seiner Punkte auch alle Punkte ihrer Verbindungsstrecke enthält.

Aufgabe 1:

Die Eckpunkte eines regelmäßigen 2n-Ecks (n natürliche Zahl, n > 2) sollen derart mit jeweils einer der Zahlen 1, 2, 3, ..., 2n beschriftet werden, dass die Summe der Zahlen an zwei benachbarten Eckpunkten jeweils gleich der Summe der Zahlen an den beiden diametral gegenüberliegenden Eckpunkten ist. Dabei sollen die Zahlen an den Ecken alle verschieden sein.
Man beweise, dass dies dann und nur dann möglich ist, wenn n ungerade ist.

Aufgabe 2:

Für jede natürliche Zahl n werde die Quersumme ihrer Darstellung im Zehnersystem mit Q(n) bezeichnet.
Man beweise, dass für unendlich viele natürliche Zahlen k die Ungleichung Q(3^k) >= Q(3^k+1) gilt.

Aufgabe 3:

Gegeben seien ein konvexes Viereck ABCD und die Punkte K, L, M, N, P mit folgenden Eigenschaften:
- K, L, M, N sind innere Punkte der Seiten AB bze. BC bzw. CD bzw. DA.
- P ist innerer Punkt des Vierecks ABCD.
- Die Vierecke PKBL und PMDN sind Parallelogramme.
Mit S, S₁, S₂ werden die Flächeninhalte der Vierecke ABCD bzw. PNAK bzw. PLCM bezeichnet. Man beweise: Sqrt(S) >= Sqrt(S₁) + Sqrt(S₂)

Aufgabe 4:

Eine natürliche Zahl heißt bunt, wenn sie sich als Summe einer positiven Quadratzahl und einer positiven Kubikzahl darstellen lässt.
Es seien r und s zwei beliebige gegebene positive ganze Zahlen. Man beweise:
a) Für unendlich viele natürliche Zahlen n sind die Zahlen r + n und s + n beide bunt.
b) Für unendlich viele natürliche Zahlen m sind die Zahlen r * m und s * m beide bunt.