Aufgabe 1:

Gegeben sei ein Quadrat ABCD. Auf seinen Seiten werden nach innen die gleichseitigen Dreiecke ABK, BCL, CDM, DAN errichtet. Man beweise, dass die Mittelpunkte der vier Strecken KL, LM, MN und NK zusammen mit den Mittelpunkten der acht Strecken AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN und AN die Eckpunkte eines regelmäßigen 12-Ecks sind.

Aufgabe 2:

In einer endlichen Folge reeller Zahlen ist die Summe von jeweils sieben unmittelbar aufeinanderfolgenden Gliedern negativ, während die Summe von jeweils elf unmittelbar aufeinanderfolgenden Gliedern positiv ist.
Man bestimme die größte Anzahl der Glieder in einer solchen Folge.

Aufgabe 3:

Es sei n eine vorgegebene natürliche Zahl mit n > 2. Wir betrachten die Menge V_n mit den Elementen 1 + kn, k = 1, 2, ... . Eine Zahl m Element von V_n heißt "unzerlegbar in V_n", wenn es in V_n keine Zahlen p, q gibt, sodass m = p * q ist.
Man beweise, dass es in V_n eine Zahl r gibt, die man auf mehr als eine Weise als Produkt von in V_n unzerlegbaren Faktoren darstellen kann. (Zerlegungen, die sich nur in der Reihenfolge der Faktoren aus V_n unterscheiden, gelten als gleich.)

Aufgabe 4:

Ein kreisförmiges Spielbrett sei in n Sektoren (n ³ 3) eingeteilt, von denen jeder entweder leer oder mit einem Spielstein besetzt ist. Die Verteilung der Spielsteine wird schrittweise verändert: Ein Schritt besteht daraus, dass man einen besetzten Sektor auswählt, seinen Spielstein entfernt und die beiden Nachbarsektoren "umpolt", d.h. einen besetzten Sektor leert und einen leeren Sektor mit einem Spielstein besetzt.
Für welche Werte von n kann man in endlich vielen Schritten lauter leere Sektoren erzielen, wenn anfangs ein einziger Sektor besetzt ist?

Aufgabe 1:

Es sei ABCD ein rechteckiges Spielbrett mit |AB| = 20 und |BC| = 12. Das Spielbrett wird in 20 * 12 Einheitsquadrate zerlegt. Es sei r eine positive ganze Zahl. Eine Münze kann von einem Quadrat zu einem anderen dann und nur dann bewegt werden, wenn der Abstand der Mittelpunkte der beiden Quadrate Wurzel aus r ist. Die Aufgabe ist es, eine Folge von Zügen zu finden, die die Münze vom Quadrat, das den Eckpunkt A enthält, zum Quadrat, das den Eckpunkt B enthält, führt.
a) Man zeige, dass die Aufgabe nicht lösbar ist, wenn r durch 2 oder 3 teilbar ist!
b) Man beweise, dass die Aufgabe gelöst werden kann, wenn r = 73 ist!
c) Kann die Aufgabe gelöst werden, wenn r = 97 ist?

Aufgabe 2:

Es sei P ein innerer Punkt des Dreiecks ABC mit Man zeige, dass sich AP, BD und CE in einem Punkt schneiden!

Aufgabe 3:

Es sei S = {0, 1, 2, 3, ...} die Menge der nicht-negativen ganzen Zahlen. Man bestimme alle Funktionen f, die auf S definiert und deren Werte aus S sind, sodass f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) für alle m, n aus S gilt.

Aufgabe 4:

Die positiven ganzen Zahlen a und b sind derart, dass die Zahlen 15a + 16b und 16a - 15b beide Quadrate von positiven ganzen Zahlen sind. Man bestimme den kleinsten möglichen Wert, den das Minimum dieser beiden Quadrate annehmen kann!

Aufgabe 5:

Es sei ABCDEF ein konvexes Sechseck, sodass AB parallel zu ED, BC parallel zu FE und CD parallel zu AF sind. Ferner seien R_A, R_C bzw. R_E die Umkreisradien der Dreiecke FAB, BCD bzw. DEF, und es sei p der Umfang des Sechsecks.
Man beweise: R_A + R_C + R_E >= p / 2.

Aufgabe 6:

Es seien n, p, q positive ganze Zahlen mit n > p + q. Ferner seien x₀, x₁, ..., x_n ganze Zahlen, die die folgenden Bedingungen erfüllen:
a) x₀ = x_n = 0
b) für jede ganze Zahl i mit 1 <= i <= n, ist entweder x_i - x_i-1 = p oder x_i - x_i-1 = -q.
Man zeige, dass ein Paar (i, j) von Indizes mit i < j und (i, j) <> (0, n) existiert, sodass x_i = x_j ist!

Aufgabe 1:

In einer Ebene sind die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten die Ecken von Einheitsquadraten. Die Quadrate sind abwechselnd schwarz und weiß gefärbt (wie auf einem Schachbrett).
Zu jedem Paar positiver Zahlen m und n betrachte man ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Ecken ganzzahlige Koordinaten haben und dessen Katheten, die die Längen m und n haben, auf Quadratseiten liegen.
Es seien S₁ die Gesamtfläche des schwarzen Teils und S₂ die Gesamtfläche des weißen Teils dieses Dreiecks. Es sei f(m,n) = | S₁ - S₂ |.
a) Man berechne f(m,n) für alle positiven ganzen Zahlen m und n, welche entweder beide gerade oder beide ungerade sind!
b) Man beweise, daß f(m,n) £ 1/2 · max{m,n} für alle m und n gilt!
c) Man zeige, daß es keine Konstante C gibt, so daß f(m,n) < C für alle m und n gilt!

Aufgabe 2:

Es sei BAC der kleinste Winkel im Dreieck ABC. Die Punkte B und C teilen den Umkreis des Dreiecks in zwei Bögen. Es sei U ein innerer Punkt des Bogens zwischen B und C, der A nicht enthält. Die Mittelsenkrechten von AB und AC schneiden die Gerade AU in den Punkten V bzw. W. Die Geraden AB und AC schneiden die Gerade BV und CW schneiden sich in T.
Man zeige, daß gilt: AU = TB + TC.

Aufgabe 3:

Es seien x₁, x₂, ..., x_n reelle Zahlen, die die folgenden Bedingungen erfüllen:
| x₁ + x₂ + ... + x_n | = 1 und
| x_i | £ (n+1) / 2 für i = 1, 2, ..., n.
Man zeige, daß eine Permutation y₁, y₂, ..., y_n von x₁, x₂, ..., x_n existiert, so daß gilt:
| y₁ + 2y₂ + ... + ny_n | £ (n+1) / 2.

Aufgabe 4:

Eine n x n Matrix mit Einträgen aus der Menge S = {1, 2, ..., 2n-1} heißt silberne Matrix, falls für jedes i = 1, 2, ..., n die i-te Zeile und die i-te Spalte zusammen alle Elemente von S enthalten. Man zeige:
a) Es gibt keine silberne Matrix für n = 1997.
b) Silberne Matrizen gibt es für unendlich viele Werte von n.

Aufgabe 5:

Man finde alle Paare (a, b) ganzer Zahlen mit a ³ 1, b ³ 1, die die Gleichung a^b² = b^a erfüllen.

Aufgabe 6:

Für jede positive ganze Zahl n bezeichne f(n) die Anzahl der Möglichkeiten, n als Summe von Potenzen von 2 mit nichtnegativen ganzzahligen Exponenten darzustellen. Darstellungen, welche sich nur in der Reihenfolge der Summanden unterscheiden, werden als gleich betrachtet. Zum Beispiel ist f(4) = 4, da sich die Zahl 4 auf die folgenden vier Arten darstellen läßt: 4, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1.
Man beweise, daß für jede ganze Zahl n³ 3 gilt: s^n²/4 < f(n) < 2^n²/2.

Aufgabe 1:

Gegeben seien eine positive ganze Zahl n und reelle Zahlen a₁, a₂, ..., a_n.
Für jedes i (1 £ i £ n) sei d_i = max{a_j : 1 £ j £ i} - min{a_j : 1 £ j £ i} und sei d = max{d_i : 1 £ i £ n}.
(a) Man beweise für beliebige reelle Zahlen x₁ £ x₂ £ ... £ x_n: max{ |x_i - a_i| : 1 £ i £ n} ³ d/2. (*)
(b) Man beweise, dass es reelle Zahlen x₁ £ x₂ £ ... £ x_n gibt, die Gleichheit in (*) liefern.

Aufgabe 2:

Gegeben seien fünft Punkte A, B, C, D, und E, so dass ABCD ein Parallelogramm ist und BCED ein konvexes Sehnenviereck. Sei l eine Gerade durch A, welche die Strecke DC im inneren Punkt F und die Gerade BC in G schneidet.
Ferner gelte |EF|=|EG|=|EC|.
Man beweise, dass l die Winkelhalbierende von ∠DAB ist.

Aufgabe 3:

In einem mathematischen Wettbewerb sind einige Teilnehmende miteinander befreundet. Freundschaft beruht auf Gegenseitigkeit. Eine Gruppe von Teilnehmenden heißt Clique, wenn je zwei von ihnen befreundet sind. (Insbesondere ist jede Gruppe von weniger als zwei Teilnehmenden eine Clique.) Die Größe einer Clique ist die Anzahl ihrer Mitglieder. Die maximale Größe einer Clique in diesem Wettbewerb sei gerade.
Man beweise, dass die Teilnehmenden so auf zwei Räume aufgeteilt werden können, dass die maximale Größe einer Clique in einem Raum gleich der maximalen Größe einer Clique im anderen Raum ist.

Aufgabe 4:

Gegeben sei ein Dreieck ABC. Die Winkelhalbierende von ∠BCA schneidet den Umkreis im Punkt R (R ≠ C), die Mittelsenkrechte der Seite BC im Punkt P und die Mittelsenkrechte der Seite AC im Punkt Q. Der Mittelpunkt von BC sei K und der Mittelpunkt von AC sei L. Man beweise, dass die Dreiecke RPK und RQL den gleichen Flächeninhalt haben.

Aufgabe 5:

Es seien a und b positive ganze Zahlen. Man beweise: Wenn 4ab-1 ein Teiler von (4a²-1)² ist, so gilt a=b.

Aufgabe 6:

Es sei n eine positive ganze Zahl. Gegeben sei S = { (x,y,z) : x,y,z &isin {0, 1, ..., n}, x+y+z > 0 }, eine Menge von (n+1)³-1 Punkten des drei-dimensionalen Raumes.
Man bestimme die kleinstmögliche Anzahl von Ebenen, deren Vereinigung die Menge S umfasst, aber nicht den Punkt (0,0,0).