Aufgabe 1:

Es werden n gewöhnliche Spielwürfel nebeneinander auf den Tisch gelegt. Man addiert alle Augenzahlen, die nicht durch den Tisch oder durch einen Nachbarwürfel verdeckt sind. Die maximale Augenzahl, die man so erhalten kann, werde mit A(n), die minimale mit a(n) bezeichnet. Die Differenz d(n) = A(n) - a(n) ist für gewisse n eine Quadratzahl (z.B. für n=2, n=6). Für welche Würfelanzahl n erhält man die 1000. Quadratzahl der Folge?

Aufgabe 2:

In jedem spitzwinkligen Dreieck ABC kann man einen Punkt P so konstruieren, dass die Bildpunkte von P bei Spiegelung an den drei Dreiecksseiten ein gleichseitiges Dreieck bilden.
a) Stelle die Winkel APB, BPC und CPA in Abhängigkeit von den Innenwinkeln des Dreiecks ABC dar.
b) Beschreibe die Konstruktion des Punktes P.

Aufgabe 3:

Welche der Zahlen 101, 10101, 1010101, 101010101, ... sind Primzahlen?

Aufgabe 4:

Bei einem rechtwinkligen Dreieck ABC berührt ein Kreis k den Umkreis sowie die beiden Katheten. Zeige, dass der Radius des Kreises k doppelt so groß ist wie der Inkreisradius des rechtwinkligen Dreiecks ABC.

Aufgabe 1:

Durch einen Punkt im Innern eines gleihseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a sind die drei Parallelen zu den Dreiecksseiten gezeichnet. Das Dreieck schneidet aus diesen Parallelen drei Stückchen mit den Längen x, y und z aus.
Zeige: x + y + z = 2 * a.

Aufgabe 2:

Für welche natürlichen Zahlen n sind sowohl 2^n+1 als auch 2^(n+1)+1 Primzahlen?
Zeige, dass für alle anderen natürlichen Zahlen n mindestens eine der beiden Zahlen 2^n+1 oder 2^(n+1)+1 keine Primzahl.

Aufgabe 3:

Eine natürliche Zahl n>1 heißt schneidig, wenn sich ein gleichseitiges Dreieck in n (nicht notwendig gleich große) gleichseitige Dreiecke zerschneiden lässt.
Gib alle schneidigen Zahlen an und weise für sie diese Eigenschaft nach. (Ein Nachweis, dass die anderen Zahlen nicht schneidig sind, wird nicht verlangt.)

Aufgabe 4:

Bestimme alle Zahlenpaare (x/y) mit x, y Element von Z, die Lösung von (1/x)+(1/y)=1/2 sind.

Aufgabe 5:

Ausgehend von zwei beliebigen Startzahlen a₁ und a₂ werden nach folgender Vorschrift weitere Zahlen gebildet:
a₃ = a2 - a₁; a₄ = a₃ - a₂; a₅ = a₄ - a₃ usw.
Berechne die Summe der ersten 1992 Zahlen.

Aufgabe 6:

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit gamma = 90° und über der Hypotenuse das Quadrat nach außen. Das Quadrat hat den Diagonalenschnittpunkt D.
Bei welchen rechtwinkligen Dreiecken ist die Strecke CD so lang wie eine Seite des Dreiecks ABC?