Aufgabe 1:

Jens zeichnet ein Rechteck R. Wenn er die beiden längeren Seiten von R um je 2 cm verkürzt, so erhält er ein um 8 cm² kleineres Rechteck. Verlängert er aber alle vier Seiten von R um je 1 cm, dann erhält er ein weiteres Rechteck, daß um 13 cm² größer ist als R. Wie lang sind die Seiten von R?

Aufgabe 2:

Ein geschäftstüchtiger Kaufmann erhöht den Preis für Orangensaft "ganz unauffällig" auf folgende Weise: Er verkauft den Saft jetzt in 0,7 l-Flaschen, und zwar zu dem Preis, den er früher für 1 l-Flaschen verlangt hat. Um wieviel % hat sich der Orangensaft verteuert?

Aufgabe 3:

Welchen Winkel bilden die Uhrzeiger um 6.12 Uhr?

Aufgabe 4:

Die Seiten eines dicken Buches werden fortlaufend, beginnend mit Seite 1, durchnumeriert. Dabei werden 3829 Ziffern benötigt. Wieviel Seiten hat das Buch?

Aufgabe 5:

Im Inneren eines Dreiecks ABC mit alpha<=90^o wählen wir einen beliebigen Punkt D. Wir spiegeln diesen Punkt sowohl an AB als auch an AC, die Spiegelpunkte nennen wir P und Q. Begründe warum der Winkel zwischen AP und AQ genau 2*alpha ist. Für welchen Winkel alpha liegen P, Q und A auf einer Geraden?

Aufgabe 1:

Aus Kugeln und Verbindungsstäben werden Würfel gebaut. Bestimme in der Tabelle jeweils die fehlende Anzahl!

Kugelanzahl auf einer Kante	3	4	10	?	1000
Gesamtzahl der Kugeln	20	32	?	80	?

Begründe den Rechenweg für die Kugelanzahl auf einer Kante: 1000.

Aufgabe 2:

Aus dem Alltag im alten Ägypten:
Ein Schuhmacher vermag an einem Tage entweder 15 Paare Sandalen aus dem Leder zuzuschneiden oder 10 Paare Sandalen aus bereits zusammengeschnittenen Teilen zusammenzunähen.
Nun will er an einem Tag sowohl zuschneiden als auch zusammennähen. Wie viele Sandalenpaare kann er dann an einem Tage aus noch nicht zugeschnittenem Leder herstellen?

Aufgabe 3:

Zeichne ein gleichseitiges Dreieck ABC. Markiere D als Mittelpunkt der Strecke AB und E als Mittelpunkt der Strecke AC. Verlängere die Strecke DE über E hinaus auf die doppelte Länge. Der Endpunkt dieser Verlängerung ist F.
Begründe nun, daß das Viereck ADCF ein Rechteck ist!

Aufgabe 4:

Es gilt:
1 = 77 : 77
2 = 7:7 + 7:7
3 = (7+7+7) : 7
Stelle nun die Zahlen 4, 5, 6 und 7 ebenfalls mit Hilfe von genau 4 Ziffern 7 dar! Verwende dabei die Rechenzeichen +, - , x, : und Klammern!

Aufgabe 5:

In einem Jahr stieg die Einwohnerzahl einer Stadt um 6%, das Müllvolumen jedoch nur um 2%.
Wieviel % Müll wurden durchschnittlich eingespart? Gib das Ergebnis mit einer Nachkommastelle an!

Aufgabe 1:

Sieben Spieler treffen dich regelmäßig nach folgender Regel: Der erste kommt jeden Tag, der zweite jeden zweiten Tag, der dritte jeden dritten Tag usw.
a) Wann können sie erstmals Skat spielen (3 Spieler)?
b) Wann können sie erstmals Doppelkopf spielen (4 Spieler)?
c) Wann treffen sich erstmals alle sieben?

Aufgabe 2:

Ein Würfel mit den Eckpunkten A, B, C, D, E, F, G, H besitzt die Kantenlänge 4 cm. Die Punkte I, K, L sind die Mittelpunkte der von E ausgehenden Kanten.
Man schneidet nun eine Ecke des Würfels entlang der Ebene, in der das Dreieck IKL liegt, ab.
Zeichne ein Netz des Restkörpers und gib dabei allen Eckpunkten des Netzes die Bezeichnungen der entsprechenden Eckpunkte des Restkörpers.

Aufgabe 3:

Zu Werbezwecken senkt ein Zirkus seinen Eintrittspreis für einen Abend um 15%. Dennoch bleibt die Einnahme genauso hoch wie am Abend zuvor.
Um wieviel Prozent ist die Besucherzahl gestiegen? Gib das Ergebnis mit einer Nachkommastelle an!

Aufgabe 4:

In einem geschlossenen quaderförmigen Glaskasten befinden sich 600 cm³ Wasser. Legt man den Kasten mit seinen verschiedenen Außenflächen auf eine horizontale Ebene, so ergibt sich für die Wasserhöhe im Kasten einmal 2 cm, einmal 3 cm und einmal 4 cm.
Wie groß ist das Volumen des Glaskastens?

Aufgabe 5:

Bei einer Rolltreppe mit 72 Stufen dauert es 30 Sekunden bis eine Stufe von ganz unten bis ganz oben gewandert ist. Susi macht sich den Spaß, die Treppe von oben nach unten zu benutzen. Sie schafft in der Sekunde 4 Stufen.
Wie lange dauert es, bis sie unten ankommt?

Aufgabe 1:

Ein Würfel mit der Kantenlänge 12 cm steht auf einer Tischplatte. Auf der Deckfläche des Würfels steht ein kleinerer, ohne über die Fläche hinauszuragen. Wie groß ist die Kantenlänge des kleineren Würfels, wenn die sichtbaren Oberflächenteile der beiden Würfel flächengleich zur Gesamtoberfläche des großen Würfels sind?

Aufgabe 2:

Ute sortiert eine Anzahl von Münzen in Dreier-Reihen, dabei behält sie eine Münze übrig. Versucht sie es mit Zweier-Reihen. so bleibt ebenfalls eine Münze übrig. Auch wenn sie Vierer-Reihen bildet, hat sie eine Münze übrig. Erst wenn Ute Fünfer-Reihen legt, behält sie keine der Münzen übrig.
Wieviele Münzen könnte Ute haben, wenn es weniger als 100 sind?

Aufgabe 3:

Zeichne zwei sich schneidende Geraden g und h, die nicht senkrecht zueinander sind. Bezeichne den Schnittpunkt von g und h mit S. Markiere einen beliebigen Punkt A auf g, jedoch nicht A = S.
Es sei nun B der Bildpunkt der Spiegelung von A an h, C sei der Bildpunkt der Spiegelung von B an g, und D sei der Bildpunkt der Spiegelung von C an h.
Zeichne die Punkte B, C und D und begründe, daß A, B, C und D auf einem Kreis liegen. Zeichne diesen Kreis ein!

Aufgabe 4:

Zwei Züge fuhren aneinander in entgegengesetzter Richtung vorbei, der eine mit der Geschwindigkeit von 36 km/h, der andere mit der von 45 km/h. Ein Fahrgast, der im 2. Zug saß, stellte fest, daß der 1. Zug zur Vorbeifahrt an ihm 6 Sekunden brauchte. Wie lang war der Zug?

Aufgabe 5:

Frisch geerntete Pilze enthalten 95% Wasser. Durch Lufttrockung verringert sich der Wassergehalt auf 80%. 120 kg frische Pilze werden luftgetrocknet. Wieviel kg wiegen diese Pilze nach der Trocknung?

Aufgabe 1:

Die natürlichen Zahlen seien in einem "Dreieck-Schema" wie unten gezeigt angeordnet.

				1						1. Zeile
			2		3					2. Zeile
		4		5		6				3. Zeile
	7		8		9		10			4. Zeile
11		12		13		14		15		5. Zeile

a) Befindet sich in der 55. Zeile auf der Mittelposition (also auf einer Linie mit der 1 und der 5) eine Zahl? Wenn ja, welche?
b) Befindet sich die Zahl 1993 innerhalb eines Streifens, der durch die 56. Zeile und die 63. Zeile (inklusive) begrenzt wird, über oder unter ihm?
c) In welcher "Parallelzeile" zur "Kantenzeile" 1; 2; 4; 7; 11 ... befindet sich die Zahl 1993? Gib deren Anfangszahl an.
(Zu jeder der drei Antworten muß eine Begründung gegeben werden!)

Aufgabe 2:

In einem gleichschenkligen Trapez ABCD mit den Grundlinien der Längen |AB| = a und |CD| = c und der Höhe mit der Länge h sei s die Symmetrie-Achse.
a) Begründe: auf s gibt es höchstens zwei Punkte, von denen aus der Schenkel BC jeweils unter einem rechten Winkel erscheint.
b) Gib die Beziehung zwischen a, c und h dafür an, daß genau ein solcher Punkt auf s existiert.

Aufgabe 3:

Drei Spieler A, B, C spielen folgendes Spiel: Auf genau drei Spielkarten ist jeweils eine ganze Zahl geschrieben. Für diese Zahlen p, q, r gilt 0 < p < q < r.
Diese drei Karten werden gemischt und so verteilt, daß jeder der drei Spieler eine Karte erhält und ihm dann genau so viele Punkte zugeteilt werden, wie die Zahl auf der Karte angibt.
Danach werden die Karten wieder eingesammelt, gemischt, verteilt und Punkte vergeben.
Dieser Spielverlauf wird mindestens zweimal durchgeführt.
Nach der letzten Runde hat A 20 Punkte, B hat 10 Punkte und C hat 9 Punkte. B weiß noch, daß er beim letzten Mal r Punkte bekommen hat.
a) Wieviel Runden wurden gespielt?
b) Wie waren die Karten in den einzelnen Runden verteilt und welche Wert hatten p, q, r?

Aufgabe 4:

In der Gleichung a₁ + a₂ + ... + a₁₀ = 95 sind die a_i natürliche Zahlen.
Bilde die Summe ihrer Quadrate also S = a₁² + a₂² + ... + a₁₀².
a) Zeige an drei Beispielen, daß S umso kleiner ist, je weniger sich die a_i voneinander unterscheiden.
b) Zeige: wenn sich bereits zwei der zehn Zahlen, etwa a₁ und a₂ um mehr als 1 unterscheiden, dann kann S nicht minimal sein.
c) Begründe: S ist minimal, wenn fünf der Zahlen a_i den Wert 9 und die restlichen 5 den Wert 10 haben. Wie groß ist das minimale S?

Aufgabe 1:

Frau Pünktlich stellt ihre Uhr am Donnerstag abend um 20 Uhr genau nach dem Radio. Am Freitag um 12 Uhr bemerkt sie beim Zeitzeichen des Radios, daß ihre Uhr um 4 Minuten nachgeht. Sie vergißt jedoch, ihre Uhr richtig zu stellen.
Am Montag möchte sie pünktlich um 8.40 aus dem Haus gehen. Welche Zeit muß ihre Uhr zu diesem Zeitpunkt anzeigen? Gib das Ergebnis in Stunden, Minuten und Sekunden an.

Aufgabe 2:

Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC, das nicht rechtwinklig ist. Verlängere die Seite AC über C hinaus um sich selbst bis D. Spiegele dann den Punkt D an der durch B und C verlaufenden Gerade a!
a) Begründe, daß das Rechteck ACD' (D' ist der Bildpunkt von D) gleichschenklig ist!
b) Die durch C verlaufende Winkelhalbierende des Dreiecks ACD' ist senkrecht zu a! Begründe dies.

Aufgabe 3:

1990 gab es in Deutschland 35% Einpersonenhaushalte, 30% Haushalte mit zwei, 17% mit drei, 13% mit vier und 5% mit fünf Personen. Die Anzahl der Haushalte mit 6 oder mehr Personen war so gering, daß sie etwa 0% ausmachte.
Wieviel Prozent der Deutschen lebten also 1990 allein? Gib das Ergebnis als ganze Prozentzahl an!

Aufgabe 4:

Bei einem Flug mit der Gesellschaft Mathe-Airlines kann jeder Passagier x kg Gepäck kostenlos mitführen. Herr und Frau Schmidt haben zusammen 58 kg Gepäck, Sie zahlen zusammen 32 DM für Mehrgewicht. Würde Herr Schmidt die Reise allein mit dem gemeinsamen Gepäck antreten, so hätte er 132 DM zu zahlen.
Wieviel kg Gepäck kann eine Person ohne Gebühr mitnehmen?

Aufgabe 5:

Zeichne fünf Geraden g₁, ..., g₄, g₅, so daß eine Figur entsteht, in der
a) genau 4 Punkte
b) genau 8 Punkte
c) genau 9 Punkte
die Eigenschaft haben, Schnittpunkt von mindestens zwei Geraden zu sein.
Hinweis: Als Lösung gilt jeweils eine Zeichnung ohne Begründung, wobei parallele Geraden als solche zu kennzeichnen sind (z.B. g₁ || g₂).

Aufgabe 1:

Vier unmittelbar aufeinander folgende Prizahlen mit den Abständen 2, 4, 2 nennt man einen Primzahl-Vierling.
Die beiden kleinsten Primzahl-Vierlinge sind 5, 7, 11, 13 und 11, 13, 17, 19.
Zeige: für jeden Primzahl-Vierling mit kleinster Primzahl >= 11 ist die Summe der 4 Primzahlen durch 60 teilbar.

Aufgabe 2:

In einem Amphitheater sind in der ersten Reihe 7 Plätze, in der zweiten 9, in der dritten 11 Plätze usw. in jeder weiteren Reihe 2 Plätze mehr als in der vorigen.
a) Wieviele Plätze hat die 20-te Reihe?
b) Wieviele Plätze sind in der letzten Reihe in einem Amphitheater mit 891 Plätzen?
c) Zeige: wenn in einem Amphitheater die Plätze nach obiger Vorschrift angeordnet sind, dann ist die Gesamtzahl der Plätze im Amphitheater das Produkt zweier Zahlen, die sich um 6 unterscheiden.

Aufgabe 3:

Einem spitzwinkligen Dreieck ABC kann man Dreiecke so einbeschreiben, daß ihre Eckpunkte auf je einer Seite des Dreiecks liegen und von A, B, C verschieden sind.
Konstruiere unter den so einbeschriebenen Dreiecken dasjenige mit dem kleinsten Umfang. Beschreibe die einzelnen Schritte der Konstruktion, und begründe die Richtigkeit der Konstruktion.

Hinweis: Wähle zunächst einen Punkt F beliebig auf der Seite AB, und spiegele ihn an AC und BC.

Aufgabe 4:

Von einer Familie mit Vater, Mutter und zwei Kindern sind folgende (ganzzahlige) Altersangaben bekannt:
(1) Die Summe aller vier Lebensalter beträgt 124.
(2) Vater und Mutter sind zusammen doppelt so alt wie ihre beiden Kinder zusammen.
(3) Die Mutter ist mehr als doppelt so alt wie das älteste Kind.
(4) Die Differenz, die sich ergibt, wenn man das Lebensalter der Mutter von dem des Vaters subtrahiert, ist neunmal die Differenz, die sich ergibt, wenn man das Lebensalter des jüngeren von dem des älteren Kindes subtrahiert.
Zu bestimmen sind die jeweiligen Lebensalter.

Aufgabe 1:

Für jede natürliche Zahl n>=1 ist eine Zahl N festgelegt durch die Gleichung N = n⁴ - n².
Beispiel: für n = 3 ist N = 3⁴ - 3² = 81 - 9 = 72.
a) Bestimme alle Zahlen n, für welche die zugehörige Zahl N durch 12 teilbar ist.
b) Begründe, daß 60% aller Zahlen durch 10 teilbar sind.

Aufgabe 2:

In einem ebenen Koordinatensystem (Gitternetz) werden vom Ursprung ausgehend im ersten Quadranten Punkt P_i nach folgendem Schema eingetragen:

P15	P20	...	...	...	...
P10	P14	P19	...	...	...
P6	P9	P13	P18	...	...
P3	P5	P8	P12	P17	...
P1	P2	P4	P7	P11	P16

z.B. hat P₁₂ die Koordinaten (3;1).
a) Welcher Punkt hat die Koordinaten (5;3)?
b) Welche Koordinaten hat der Punkt P₅₉?
c) Welches i gehört zu dem Punkt P_i mit den Koordinaten (x;y)?

Aufgabe 3:

In einem Dreieck ABC mit |AB| = 5 cm und |AC| = 6 cm gilt: die Seitenhalbierenden der Seiten AB und AC schneiden sich rechtwinklig.
a) Konstruiere das Dreieck ABC.
b) Beschreibe und begründe die Konstruktion. Hinweis: Ähnlichkeit hilft weiter!

Aufgabe 4:

Ein australisches Dorf D liegt 20 km von einer Bahnlinie entfernt. Die Post soll mit dem Fahrrad (12 km/h) zu einem gewissen Haltepunkt H der Bahn und von dort aus mit dem Zug (48 km/h) zur nächsten größeren Station (jeweils geradlinige Fahrwege) befördert werden.
Die Entfernung von P (dem Fußpunkts des Lots auf der Bahnlinie, das durch D geht) zur Station sei a. Wohin wird man den Haltepunkt H legen, um die Transportzeit möglichst klein zu machen?

Aufgabe 1:

Hans, Inge, Peter spielen Rechenball. In jeder Runde erhält der Gewinner a Punkte, der Zweite b Punkte und der Verlierer c Punkte, wobei a > b > c > 0 ganze Zahlen sind. Ein Spiel besteht aus mehreren Runden. Der Endstand lautet: Peter hat 20 Punkte, Inge 10 und Hans 9 Punkte. Inge gewann die zweite Runde. Wer gewann die erste Runde und wie viele Punkte erzielte Hans in der letzten Runde?

Aufgabe 2:

Ein Rechteck soll durch einen treppenartigen Schnitt (siehe Figur mit zwei Stufen) so in 2 kongruente Teile zerlegt werden, daß bei geeignetere Zusammenfügung beider Teile ein Quadrat entsteht.
a) Begründe, daß für ein Rechteck mit den Seitenlängen a= 4,5 cm und b = 2 cm ein solche Zerlegung mit zwei Stufen möglich ist. Bestimme dafür die Stufenbreite t und die Stufenhöhe h.
b) Wie lang ist ein Rechteck mit b = 6 cm, für das eine Zerlegung mit drei Stufen möglich wird. In welchem Verhältnis stehen die Seitenlängen dieses Rechtecks zueinander?
c) Ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b soll nun durch eine Treppe mit n Stufen zerlegt werden. In welchem Verhältnis müssen a und b zueinander stehen, damit aus den zwei Teilen wieder ein Quadrat gebildet werden kann?

Aufgabe 3:

Für die nebenstehende achsensymmetrische Figur aus drei Quadraten mit Seitenlänge a soll ein Kreis gefunden werden, der durch die Punkte A, B, C, D verläuft.
a) Bestimme den Radius des Kreises für a = 4 cm!
b) Bestimme den Kreis-Radius für beliebiges a!

Aufgabe 4:

a) Wie viele verschiedene Teiler hat 6¹⁰⁰?
b) Wie viele verschiedene Teiler hat 18⁹⁹?
c) Wie viele Teiler von 6¹⁰⁰ sind auch Teiler von 18⁹⁹?

Aufgabe 1:

Für die Nummerierung der Seitenzahlen eines Lexikons wurde 195 mal die Ziffer 3 verwendet. Wie viele Seiten kann das Lexikon höchstens haben?

Aufgabe 2:

Zur Herstellung von 1 kg Rosenöl benötigt man 0,5 t Rosenblüten. Zur Herstellung von einem Liter Parfüm braucht man 2 Tropfen Rosenöl. 25 Tropfen Rosenöl wiegen genau 0,001 kg. Wie viele Liter Parfüm lassen sich aus 0,6 t Rosenblüten herstellen?

Aufgabe 3:

a)Gib zwei verschiedene Abbildungen an, die das Rechteck ABCD auf das Rechteck AEFG abbilden (siehe Grafik).
b) Zeichne zwei Geraden g und h so ein, dass das Rechteck PQRS bei Spiegelung an g und dann dessen Spiegelbild bei Spiegelung an h auf das Rechteck WXYZ abgebildet wird (siehe Grafik).

Aufgabe 4:

Die 30 Preisträger des Landeswettbewerbs Mathematik sollen mit jeweils einem Buch prämiert werden. Es stehen zwei verschiedene Bücher im Wert von 23 DM bzw. 18 DM zur Auswahl. Wie viele Bücher zu 23 DM und wie viele zu 18 DM müssen gekauft werden, wenn für die Prämierung genau 600 DM ausgegeben werden können?

Aufgabe 5:

Ein Mechaniker kauft einen Gebrauchtwagen. Er gibt dafür 45% des Autoneuwerts und zusätzlich 2640 DM für einen neuen Motor aus. Anschließend verkauft er das Auto für 17.940 DM. Dieser Betrag ist um 30% höher als seine Ausgaben. Berechne den Neuwert des Autos!